« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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Ligne 19 :
#<math>\iiint_Dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in\R^2\times[0,h]\mid x^2+y^2\le1\}</math> ;
#<math>\iiint_Dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid z\le\min(1-x^2,1-y^2)\}</math> ;
#
##<math>\iiint_D
##<math>\iiint_D\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}</math>,
##<math>\iiint_Dx\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> ;
#<math>\iiint_D\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\le1\}</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\iint_{x^2+y^2\le1}\mathrm dx\,\mathrm dy\times\int_0^hz\,\mathrm dz=\pi\frac{h^2}2</math>.
#<math>\iint_{x,y\ge0\atop x^2,y^2\le1-z}\mathrm dx\,\mathrm dy=1-z</math> et <math>\int_0^1z\left(1-z\right)\,\mathrm dz=\frac12-\frac13=\frac16</math>.
#
##<math>\int_0^{1-x}\left(1-x-y\right)\,\mathrm dy=(1-x)^2-\frac{(1-x)^2}2=\frac{(1-x)^2}2</math> et <math>\int_0^1\frac{(1-x)^2}2\,\mathrm dx=\int_0^1\frac{t^2}2\,\mathrm dt=\frac16</math>.
##<math>\int_0^{1-x-y}\frac{\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}=-\frac12\left[\frac1{(1+x+y+z)^2}\right]_0^{1-x-y}=-\frac12\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)</math> ;<br><math>-\frac12\int_0^{1-x}\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)\,\mathrm dy=-\frac12\left[\frac y4+\frac1{1+x+y}\right]_0^{1-x}=-\frac12\left(\frac ##<math>\int_0^{1-y-z}x\,\mathrm dx=\frac{(y+z-1)^2}2</math>, <math>\frac12\int_0^{1-z}(y+z-1)^2\,\mathrm dy=\frac12\int_{z-1}^0u^2\,\mathrm du=\frac{(1-z)^3}6</math>, <math>\frac16\int_0^1(1-z)^3\,\mathrm dz=\frac1{24}</math>.
#En posant <math>x=u^2</math>, <math>y=v^2</math> et <math>z=w^2</math>, l'intégrale devient <math>\iiint_{u,v,w\ge0\atop u+v+w\le1}8uvw\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw=4\iint uv(1-u-v)^2\,\mathrm du\,\mathrm dv=4\int_0^1u\left(\int_0^{1-u}\left((1-u)^2v-2(1-u)v^2+v^3\right)\,\mathrm dv\right)\mathrm du</math><math>=4\int_0^1u\left(\frac{(1-u)^4}2-2\frac{(1-u)^4}3+\frac{(1-u)^4}4\right)\,\mathrm du=\frac13\int_0^1u(1-u)^4\,\mathrm du=\frac13\int_0^1t^4(1-t)\,\mathrm dt=\frac13\left(\frac15-\frac16\right)=\frac1{90}</math>.
}}
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