« Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles » : différence entre les versions
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Ligne 135 :
#<math>\iint_{(x^2+y^2)^2\le xy}\sqrt{xy}\;\mathrm dx\mathrm dy</math> ;
#<math>\iint_{x,y\ge0\atop x^2+y^2\le1}xy\sqrt{x^2+4y^2}\;\mathrm dx\mathrm dy</math> ;
#<math>\iint_{x\ge0\atop1\le x^2+y^2\le4}xy\left(x^2+y^2\right)\;\mathrm dx\mathrm dy</math> et <math>\iint_{x,y\ge0\atop1\le x^2+y^2\le4}\frac{xy}{x^2+y^2}\;\mathrm dx\mathrm dy</math> ;
#<math>\iint_{\frac12<x^2+y^2<3\atop y>0}\mathrm dx\mathrm dy</math> ;
#<math>\iint_{x^2+y^2-2x\le0}\sqrt{x^2+y^2}\;\mathrm dx\mathrm dy</math> et <math>\iint_{x\ge0\atop1\le x^2+y^2\le2y}\sqrt{x^2+y^2}\;\mathrm dx\mathrm dy</math>.
{{Solution|contenu=
#En passant en coordonnées polaires : <math>\iint_{x^2+y^2\le1}\left(x^2+y^2\right)\;\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{0\le r\le1\atop0\le\theta<2\pi}r^3\;\mathrm dr\mathrm d\theta=2\pi\left[\frac{r^4}4\right]_0^1=\frac\pi2</math>.
#D'après la question précédente : <math>\frac14\left(\iint_{x^2+y^2\le1}4\;\mathrm dx\mathrm dy-\iint_{x^2+y^2\le1}\left(x^2+y^2\right)\;\mathrm dx\mathrm dy\right)=\frac14\left(4\pi-\frac\pi2\right)=\frac{7\pi}8</math>.
#En passant en coordonnées polaires : <math>\iint_{\pi^2<x^2+y^2\le4\pi^2}\sin\sqrt{x^2+y^2}\;\mathrm dx\mathrm =\iint_{\pi<r<2\pi\atop0\le\theta<2\pi}r\sin r\;\mathrm dr\mathrm d\theta=2\pi\int_\pi^{2\pi}r\sin r\;\mathrm dr=2\pi\left[\sin r-r\cos r\right]_\pi^{2\pi}=-6\pi^2</math> (cf. [[Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 3#Exercice 6-2|primitive de ''x'' sin ''x'']]).<br>Remarquons qu'exceptionnellement, on trouve une valeur négative, ce qui s'explique facilement ici…<br>De même, <math>\iint_{4\pi^2\le x^2+y^2\le9\pi^2}\sin\sqrt{x^2+y^2}\;\mathrm dx\mathrm dy=2\pi\left[\sin r-r\cos r\right]_{2\pi}^{3\pi}=10\pi^2</math>.
#En posant <math>x=ar\cos\theta</math> et <math>y=br\sin\theta</math> : <math>\iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1}(x^2+y^2)\;\mathrm dx\mathrm dy=ab\iint_{0\le r\le1\atop0\le\theta<2\pi}\left(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta\right)r^3\;\mathrm dr\mathrm d\theta</math><math>=\frac{ab}4\int_0^{2\pi}\left(a^2\frac{1+\cos(2\theta)}2+b^2\frac{1-\cos(2\theta)}2\right)\;\mathrm d\theta=\frac{ab}8\left[a^2\left(\theta+\frac{\sin(2\theta)}2\right)+b^2\left(\theta-\frac{\sin(2\theta)}2\right)\right]_0^{2\pi}=\frac{\pi ab}4\left(a^2+b^2\right)</math><br>ou plus astucieusement, en remarquant que <math>\int_0^{2\pi}\cos^2=\int_0^{2\pi}\sin^2=\frac12\int_0^{2\pi}\left(\cos^2+\sin^2\right)=\pi</math> :<br><math>\frac{ab}4\left(a^2\pi+b^2\pi\right)=\frac{\pi ab}4\left(a^2+b^2\right)</math>.
#De même, <math>\iint_{x,y>0\atop\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1}xy\;\mathrm dx\mathrm dy=(ab)^2\iint_{0\le r\le1\atop0\le\theta<\pi/2}\cos\theta\sin\theta\, r^3\;\mathrm dr\mathrm d\theta=\frac{(ab)^2}4\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2\theta)}2\;\mathrm d\theta=\frac{(ab)^2}8</math>.
Ligne 148 ⟶ 147 :
#<math>2\iint_{0\le\theta\le\pi/2\atop r^2\le\cos\theta\sin\theta}\sqrt{\cos\theta\sin\theta}\,r^2\;\mathrm dr\mathrm d\theta=2\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos\theta\sin\theta}\left[\frac{r^3}3\right]_0^{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}\;\mathrm d\theta=\frac23\int_0^{\pi/2}\left(\cos\theta\sin\theta\right)^2\;\mathrm d\theta=\frac1{12}\int_0^{\pi/2}\left(1-\cos(4\theta)\right)\;\mathrm d\theta=\frac\pi{24}</math>.
#<math>\iint_{0\le r\le1\atop0\le\theta\le\pi/2}r^4\cos\theta\sin\theta\sqrt{\cos^2\theta+4\sin^2\theta}\;\mathrm dr\;\mathrm d\theta=\int_0^1r^4\;\mathrm dr\int_0^{\pi/2}\sin\theta\sqrt{1+3\sin^2\theta}\;\cos\theta\mathrm d\theta=\frac15\int_0^1s\sqrt{1+3s^2}\;\mathrm ds=\frac1{30}\int_1^4\sqrt t\;\mathrm dt=\frac1{30}\left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_1^4=\frac7{45}</math>.
#
##Le domaine d'intégration (une demi-couronne) est invariant par la symétrie <math>(x,y)\mapsto(x,-y)</math>, qui transforme l'intégrande en son opposé. Donc l'intégrale est nulle.
##<math>\iint_{1\le r\le2\atop0\le\theta\le\frac\pi2}\cos\theta\sin\theta\;r\mathrm dr\mathrm d\theta=\left[\frac{r^2}2\right]_1^2\left[\frac{-\cos(2\theta)}4\right]_0^\frac\pi2=\frac34</math>.
#<math>\iint_{\frac1\sqrt2<r<\sqrt3\atop0<\theta<\pi}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\frac\pi2\left(3-\frac12\right)=\frac{5\pi}4</math>. On pouvait prévoir ce résultat à partir de la formule pour l'aire d'un disque : l'aire de cette demi-couronne est <math>\frac12\left(\pi\sqrt3^2-\pi\left(\frac1\sqrt2\right)^2\right)</math>.
#
##<math>
##<math>\iint_{\cos\theta\ge0\atop1\le r\le2\sin\theta}r^2\;\mathrm dr\mathrm d\theta=\int_\frac\pi6^\frac\pi2\left(\int_1^{2\sin\theta}r^2\;\mathrm dr\right)\;\mathrm d\theta=\int_\frac\pi6^\frac\pi2\frac{8\sin^3\theta-1}3\;\mathrm d\theta=\frac83\int_\frac\pi6^\frac\pi2\left(1-\cos^2\theta\right)\sin\theta\;\mathrm d\theta-\frac13\left(\frac\pi2-\frac\pi6\right)=\frac83\int_0^\frac\sqrt32\left(1-u^2\right)\;\mathrm du-\frac\pi9=\sqrt3-\frac\pi9</math>.<br>Là encore, on peut identifier le domaine d'intégration (un demi-disque privé de son intersection avec le disque unité).
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