« Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles » : différence entre les versions

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donc l'aire vaut <math>\iint_{[a,b]\times[c,d]}\frac{\mathrm du\mathrm dv}{3u}=\frac{d-c}3\ln\frac ba</math>.
}}
Soient <math>0\le a<b</math> et <math>D=\{(x,y)\in\R^2\mid0<x<y,\;a<xy<b,\;y^2-x^2<1\}</math>. Calculer <math>\iint_D(y^2-x^2)^{xy}(x^2+y^2)\;\mathrm dx\mathrm dy</math>. On pourra effectuer le changement de variables <math>u=xy</math>, <math>v=y^2-x^2</math>.
{{Solution|contenu=
Le jacobien de <math>(x,y)\mapsto(u,v)</math> est égal à <math>2(x^2+y^2)</math> donc
 
<math>\iint_D(y^2-x^2)^{xy}\;(x^2+y^2)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{a<u<b,\;0<v<1} v^u\;\frac{\mathrm du\mathrm dv}2=\frac12\int_a^b\left[\frac{v^{u+1}}{u+1}\right]_0^1\;\mathrm du=\frac12\int_a^b\frac1{u+1}\;\mathrm du=\frac12\ln\frac{b+1}{a+1}</math>.
}}