« Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles » : différence entre les versions
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Ligne 62 :
#Dessiner <math>D</math> et calculer son aire et son périmètre.
#Déterminer le centre d'inertie (ou centre de gravité) <math>G</math> de <math>D</math>, défini par
#:<math>\left(\iint_D1\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)\overrightarrow{OG}=\iint_D\overrightarrow{OM}\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>.
#Calculer <math>\iint_D\left(x+y\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>. Quelle en est l'interprétation en termes de volume ?
#Déterminer l'aire de <math>S</math>.
Ligne 74 ⟶ 73 :
#<math>M=\left(x,y,x+y\right),\;u=\frac{\partial M}{\partial x}=\left(1,0,1\right),\;v=\frac{\partial M}{\partial y}=\left(0,1,1\right),\;u\land v=\left(-1,-1,1\right)</math>, donc
#:<math>\mathcal A(S)=\iint_D\|u\land v\|\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\sqrt3\,\mathcal A(D)=3\sqrt2</math>.
}}
Pour <math>k>1</math>, déterminer le centre de gravité <math>(x_k,y_k)</math> du trapèze <math>D_k</math> de sommets <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math>, <math>(1,1)</math> et <math>(0,k)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>D_k=\{\left(x,y\right)\in\R^2\mid0\le x\le1,\;0\le y\le k-(k-1)x\}</math>
<math>\iint_{D_k}1\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_0^1\left(k-(k-1)x\right)\,\mathrm dx=k-\frac{k-1}2=\frac{k+1}2</math>
<math>\iint_{D_k}x\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_0^1\left(kx-(k-1)x^2\right)\,\mathrm dx=\frac k2-\frac{k-1}3=\frac{k+2}6</math>
<math>\iint_{D_k}y\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_0^1\frac{\left(k-(k-1)x\right)^2}2\,\mathrm dx=(k-1)\int_1^k\frac{t^2}2\,\mathrm dt=\frac1{k-1}\int_1^k\frac{t^2}2\,\mathrm dt=\frac{k^3-1}{6(k-1)}=\frac{k^2+k+1}6</math>
donc <math>x_k=\frac{k+2}6\frac2{k+1}=\frac{k+2}{3(k+1)}</math> et <math>y_k=\frac{k^2+k+1}6\frac2{k+1}=\frac{k^2+k+1}{3(k+1)}</math>.
Remarque : quand <math>k\to1</math>, <math>(x_k,y_k)\to(1/2,1/2)</math>, le centre de gravité du carré <math>D_1</math>. Et quand <math>k\to+\infty</math>, <math>(x_k,y_k)\sim(1/3,k/3)</math>, le centre de gravité du triangle de sommets <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math> et <math>(0,k)</math>.
}}
#Pour tout domaine <math>D\subset\R^2</math> et toute [[Géométrie affine/Applications affines|application affine]] inversible <math>\varphi:\R^2\to\R^2</math>, montrer que le centre de gravité de <math>\varphi(D)</math> est <math>\varphi(G)</math>, où <math>G</math> désigne le centre de gravité de <math>D</math>.
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