« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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→Exercice 2-6 : +1 |
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Ligne 117 :
<math>Vz_G=\iiint_Dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\iint_{x^2+y^2\le9}\frac{25-x^2-y^2}2\,\mathrm dx\,\mathrm dy=2\pi\int_0^3\frac{25-r^2}2\,r\mathrm dr=2\pi\left(\frac{25.3^2}4-\frac{3^4}8\right)=\frac{9\pi}4\left(50-9\right)=\frac{369\pi}4</math> donc <math>z_G=\frac{369\pi}4\frac3{122\pi}=\frac{1107}{488}\approx2{,}27</math>.
}}
==Exercice 2-7==
Soient <math>a\in\left]0,1\right[</math> et <math>S=\{(r\cos\theta,r\sin\theta,\sin\theta)\mid a\le r\le1,\;0\le\theta\le\pi\}</math>.
#Trouver un domaine <math>D\subset\R^2</math> et une fonction <math>f:D\to\R</math> tels que <math>S=\{(x,y,f(x,y))\mid(x,y)\in D\}</math>.
#Calculer le volume du solide <math>T=\{(x,y,tf(x,y))\mid(x,y)\in D,\;0\le t\le1\}</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>D=\{(x,y)\in\R^2\mid a^2\le x^2+y^2\le1,\;y\ge0\}</math> (demi-couronne) et <math>f(x,y)=\frac y\sqrt{x^2+y^2}</math>.
#<math>\iiint_{a\le r\le1,\;0\le\theta\le\pi\atop0\le z\le\sin\theta}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=\frac{1-a^2}2\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta=1-a^2</math>. (C'est plus simple que d'utiliser la question 1.)
}}
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