« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions
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Ligne 155 :
==Exercice 28-12==
Soit <math>P(x,y)=y\sin x</math> et <math>Q(x,y)=\sin^2y+\phi(x)</math>, où <math>\phi:\R\to\R</math> est C{{exp|1}}. On pose <math>\omega=P\,\mathrm
#Déterminer <math>\phi</math> pour que <math>\omega</math> soit exacte sur <math>\R^2</math> et nulle en <math>(0,0)</math>.
#Calculer alors les primitives de <math>\omega</math>, puis
Ligne 163 :
#<math>\frac{\partial f}{\partial x}=y\sin x\Leftrightarrow f(x,y)=-y\cos x+g(y)</math>, et <math>\frac\partial{\partial y}\left(-y\cos x+g(y)\right)=\sin^2y-\cos+1\Leftrightarrow g'(y)=1+sin^2y=1+\frac{1-\cos(2y)}2=\frac{3-\cos(2y)}2\Leftrightarrow g(y)=\frac{3y}2-\frac{\sin(2y)}4+K\quad(K\in\R)</math>. Les primitives de <math>\omega</math> sont donc les fonctions de la forme <math>f(x,y)=-y\cos x+\frac{3y}2-\frac{\sin(2y)}4+K\quad(K\in\R)</math>.
#<math>\gamma(\pi)=(\pi^2+\pi^5,0)</math>, <math>\gamma(0)=(0,0)</math> et <math>f(x,0)=K</math> donc <math>\int_\Gamma\omega=K-K=0</math>.
}}
==Exercice 28-13==
Calculer les intégrales curvilignes <math>\int_\Gamma\omega</math> dans les situations suivantes :
#<math>\omega=xy\,\mathrm dx+(x+y)\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est l'arc de parabole d'équation <math>y=x^2</math> pour <math>x</math> allant de <math>-1</math> à <math>2</math> ;
#<math>\omega=y\sin x\,\mathrm dx+x\cos y\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le segment de droite allant de <math>A=(0,0)</math> à <math>B=(1,1)</math> ;
#<math>\omega=x^2y\,\mathrm dx+xy\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le cercle unité centré en <math>0</math> et parcouru dans le sens trigonométrique.
{{Solution|contenu=
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t^2),\;t\in[-1,2]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,2t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t^3+2t(t+t^2)=3t^3+2t^2</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[3\frac{t^4}4+2\frac{t^3}3\right]_{-1}^2=\frac{69}4</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t),\;t\in[0,1]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,1)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t(\sin t+\cos t)</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[t(-\cos t+\sin t)-(-\sin t-\cos t)\right]_0^1=2\sin1-1</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=-\cos^2t\sin^2t+\cos^2t\sin t</math>. Or <math>\cos^2t\sin t=\left(\frac{-\cos^3t}3\right)'</math> et <math>\cos^2t\sin^2t=\frac{\sin^2(2t)}4=\frac{1-\cos(4t)}8</math>, donc <math>\int_\Gamma\omega=\left[-\frac t8+\frac{\sin(4t)}{32}-\frac{\cos^3t}3\right]_0^{2\pi}=\left[-\frac t8\right]_0^{2\pi}=-\frac\pi4</math>.
}}
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