« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
regroupement de 2 exos + mep
Ligne 15 :
 
==Exercice 28-2==
Calculer les intégrales curvilignes <math>\int_\Gamma\omega</math> dans les situations suivantes :
On note <math>\partial D</math> le contour du domaine
#<math>\omega=xy\,\mathrm dx+(x+y)\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est l'arc de parabole d'équation <math>y=x^2</math> pour <math>x</math> allant de <math>-1</math> à <math>2</math> ;
:<math>D=\{\left(x,y\right)\in\R^2\mid 0\le x\le\pi,\quad 0\le y\le\sin x\}</math>.
Calculer l'intégrale curviligne de #<math>\mathrm d\omega=xyy\sin x\,\mathrm dx+x\cos y\,\mathrm dy</math> le long deet <math>\partial DGamma</math> parcouru dansest le senssegment directde droite allant de <math>A=(0,0)</math> à <math>B=(1,1)</math> :;
#<math>\omega=x^2y\,\mathrm dx+xy\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le cercle unité centré en <math>0</math> et parcouru dans le sens trigonométrique.
#en utilisant un paramétrage de <math>\partial D</math> ;
#en utilisant la [[../../Formes différentielles et différentielles de fonctions#Formule de Green-Riemann (cas particulier du théorème de Kelvin-Stokes)|formule de Green-Riemann]].
{{Solution|contenu=
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t^2),\;t\in[-1,2]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,2t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t^3+2t(t+t^2)=3t^3+2t^2</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[3\frac{t^4}4+2\frac{t^3}3\right]_{-1}^2=\frac{69}4</math>.
#<math>\int_{\partial D}\mathrm d\omega=\int_0^\pi\left(x0\,\mathrm dx+0\,\mathrm d0\right)+\int_\pi^0\left(x\sin x\,\mathrm dx+\sin x\,\mathrm d(\sin x)\right)
=0+#Paramétrons <math>\int_\pi^0x\sinGamma</math> xpar <math>\gamma(t)=(t,t),\mathrm dx+\int_0^0u;t\in[0,\mathrm1]</math>. duAlors, <math>\gamma'(t)=-(1,1)</math>, donc <math>\int_0^omega_{\pi xgamma(t)}(\gamma'(t))=t(\sin x\,t+\mathrmcos dxt)</math><br> et <math>-\int_0^int_\pi xGamma\sin x\,\mathrm dxomega=\left[t(-x\cos x\right]_\pi^0t+\int_sin t)-(-\pi^0sin t-\cos xt)\,\mathrm dxright]_0^1=-2\pisin1-1</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=-\cos^2t\sin^2t+\cos^2t\sin t</math>. Or <math>\cos^2t\sin t=\left(\frac{-\cos^3t}3\right)'</math> et <math>\cos^2t\sin^2t=\frac{\sin^2(2t)}4=\frac{1-\cos(4t)}8</math>, donc <math>\int_\Gamma\omega=\left[-\frac t8+\frac{\sin(4t)}{32}-\frac{\cos^3t}3\right]_0^{2\pi}=\left[-\frac t8\right]_0^{2\pi}=-\frac\pi4</math>.
#<math>\int_{\partial D}\mathrm d\omega=\int_D\left(\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial xy}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\mathrm dy=-\int_Dx\,\mathrm dx\mathrm dy=-\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=-\pi</math>.
}}
 
Ligne 131 ⟶ 130 :
#Calculer l'intégrale <math>\int_\Gamma\omega</math> :
##directement, puis
##en utilisant la [[../../Formes différentielles et différentielles de fonctions#Formule de Green-Riemann (cas particulier du théorème de Kelvin-Stokes)|formule de Green-Riemann]].
#<math>\omega</math> est-elle exacte ?
{{Solution|contenu=
Ligne 139 ⟶ 138 :
#Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
}}
Mêmes questions pour la forme <math>\omega=y\left(x\,\mathrm dx+\mathrm dy\right)</math> et <math>\Gamma=</math> :
*le triangle joignant les points <math>A=(-1,0)</math>, <math>B=(1,0)</math> et <math>C=(0,1)</math>. ;
:*le contour du domaine <math>D=\{\left(x,y\right)\in\R^2\mid 0\le x\le\pi,\quad 0\le y\le\sin x\}</math>.
{{Solution|contenu=
#
##
##<math>\int_{[A,B]}\omega=\int_{[A,B]}0=0</math> (car <math>y=0</math> sur <math>[A,B]</math>).<br><math>\int_{[B,C]}\omega=\int_0^1y\left(-(1-y)+1\right)\,\mathrm dy=\int_0^1y^2\,\mathrm dy=\frac13</math>.<br><math>\int_{[C,A]}\omega=\int_1^0y\left(y-1+1\right)\,\mathrm dy=-\int_0^1y^2\,\mathrm dy=-\frac13</math>.<br><math>\int_\Gamma\omega=0+\frac13-\frac13=0</math>.
##*<math>\mathrm dint_{[A,B]}\omega=\left(\fracint_{\partial y[A,B]}{\partial x}-\frac{\partial(xy)}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy0=-x\,\mathrm dx\,\mathrm dy0</math>. Soit(car <math>Ty=0</math> le triangle de bordsur <math>\Gamma[A,B]</math>). <br><math>\int_\Gamma{[B,C]}\omega=\int_Tint_0^1y\left(-(1-y)+1\right)\,\mathrm ddy=\int_0^1y^2\omega,\mathrm dy=0\frac13</math> car .<mathbr>T</math> est invariant par la symétrie <math>(x\int_{[C,A]}\omega=\int_1^0y\left(y-1+1\right)\mapsto(,\mathrm dy=-x\int_0^1y^2\,y)\mathrm dy=-\frac13</math>, qui change .<br><math>\mathrm dint_\Gamma\omega=0+\frac13-\frac13=0</math> en son opposée.
##*<math>\int_{\partial D}Gamma\mathrm d\omega=\int_0^\pi\left(x0\,\mathrm dx+0\,\mathrm d0\right)+\int_\pi^0\left(x\sin x\,\mathrm dx+\sin x\,\mathrm d(\sin x)\right)
=0+\int_\pi^0x\sin x\,\mathrm dx+\int_0^0u\,\mathrm du=-\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx</math><br>et <math>-\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=\left[-x\cos x\right]_\pi^0+\int_\pi^0\cos x\,\mathrm dx=-\pi</math>.
##<math>\int_{\partial D}\mathrm d\omega=\int_D\left(\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial (xy)}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=-\int_Dxx\,\mathrm dx\mathrm dy=-\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=-\pidy</math>.
##*Soit <math>T</math> le triangle de bord <math>\Gamma</math>. <math>\int_\Gamma\omega=\int_T\mathrm d\omega=0</math> car <math>T</math> est invariant par la symétrie <math>(x,y)\mapsto(-x,y)</math>, qui change <math>\mathrm d\omega</math> en son opposée.
##*<math>\int_\Gamma\mathrm d\omega=-\int_Dx\,\mathrm dx\mathrm dy=-\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=-\pi</math>.
#Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
}}
Ligne 163 ⟶ 169 :
#<math>\frac{\partial f}{\partial x}=y\sin x\Leftrightarrow f(x,y)=-y\cos x+g(y)</math>, et <math>\frac\partial{\partial y}\left(-y\cos x+g(y)\right)=\sin^2y-\cos+1\Leftrightarrow g'(y)=1+sin^2y=1+\frac{1-\cos(2y)}2=\frac{3-\cos(2y)}2\Leftrightarrow g(y)=\frac{3y}2-\frac{\sin(2y)}4+K\quad(K\in\R)</math>. Les primitives de <math>\omega</math> sont donc les fonctions de la forme <math>f(x,y)=-y\cos x+\frac{3y}2-\frac{\sin(2y)}4+K\quad(K\in\R)</math>.
#<math>\gamma(\pi)=(\pi^2+\pi^5,0)</math>, <math>\gamma(0)=(0,0)</math> et <math>f(x,0)=K</math> donc <math>\int_\Gamma\omega=K-K=0</math>.
}}
 
==Exercice 28-13==
Calculer les intégrales curvilignes <math>\int_\Gamma\omega</math> dans les situations suivantes :
#<math>\omega=xy\,\mathrm dx+(x+y)\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est l'arc de parabole d'équation <math>y=x^2</math> pour <math>x</math> allant de <math>-1</math> à <math>2</math> ;
#<math>\omega=y\sin x\,\mathrm dx+x\cos y\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le segment de droite allant de <math>A=(0,0)</math> à <math>B=(1,1)</math> ;
#<math>\omega=x^2y\,\mathrm dx+xy\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le cercle unité centré en <math>0</math> et parcouru dans le sens trigonométrique.
{{Solution|contenu=
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t^2),\;t\in[-1,2]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,2t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t^3+2t(t+t^2)=3t^3+2t^2</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[3\frac{t^4}4+2\frac{t^3}3\right]_{-1}^2=\frac{69}4</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t),\;t\in[0,1]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,1)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t(\sin t+\cos t)</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[t(-\cos t+\sin t)-(-\sin t-\cos t)\right]_0^1=2\sin1-1</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=-\cos^2t\sin^2t+\cos^2t\sin t</math>. Or <math>\cos^2t\sin t=\left(\frac{-\cos^3t}3\right)'</math> et <math>\cos^2t\sin^2t=\frac{\sin^2(2t)}4=\frac{1-\cos(4t)}8</math>, donc <math>\int_\Gamma\omega=\left[-\frac t8+\frac{\sin(4t)}{32}-\frac{\cos^3t}3\right]_0^{2\pi}=\left[-\frac t8\right]_0^{2\pi}=-\frac\pi4</math>.
}}