« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions
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regroupement de 2 exos + mep |
→Exercice 28-2 : + 2e question |
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Ligne 23 :
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t),\;t\in[0,1]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,1)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t(\sin t+\cos t)</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[t(-\cos t+\sin t)-(-\sin t-\cos t)\right]_0^1=2\sin1-1</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=-\cos^2t\sin^2t+\cos^2t\sin t</math>. Or <math>\cos^2t\sin t=\left(\frac{-\cos^3t}3\right)'</math> et <math>\cos^2t\sin^2t=\frac{\sin^2(2t)}4=\frac{1-\cos(4t)}8</math>, donc <math>\int_\Gamma\omega=\left[-\frac t8+\frac{\sin(4t)}{32}-\frac{\cos^3t}3\right]_0^{2\pi}=\left[-\frac t8\right]_0^{2\pi}=-\frac\pi4</math>.
}}
On considère sur <math>\R^2</math> la forme différentielle <math>\omega=x^2\,\mathrm dx-xy\,\mathrm dy</math>.
#Calculer l'intégrale de <math>\omega</math> le long des deux courbes suivantes :
#*le segment de droite allant de <math>A=(0,0)</math> à <math>B=(1,1)</math> ;
#*l'arc de parabole <math>\Gamma</math> d'équation <math>y=x^2</math> pour <math>x</math> allant de <math>0</math> à <math>1</math>.
#La 1-forme <math>\omega</math> est-elle exacte ?
{{Solution|contenu=
#En réutilisant les paramétrages précédents, on obtient :
#*<math>\int_{[A,B]}\omega=\int_0^1\left(t^2-t^2\right)\,\mathrm dt=0</math> ;
#*<math>\int_\Gamma\omega=\int_0^1\left(t^2-2t^4\right)\,\mathrm dt=\frac13-\frac25=-\frac1{15}</math>.
#Non puisque d'après la question 1, l'intégrale de <math>A</math> à <math>B</math> dépend du chemin choisi.
}}
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