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« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Formes différentielles et différentielles de fonctions » : différence entre les versions

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Ligne 108 :
:<math>\omega= -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy</math>
*cette forme est fermée :
*:<math>\begin{cases}A(x,\,y) = -\dfrac y{x^2 + y^2} &\Rightarrow&\dfrac{\partial A}{\partial y}=-\dfrac{\left( x^2 + y^2 \right) - y\;2\;y(2y)}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}\\
B(x,\,y) = \dfrac x{x^2 + y^2} &\Rightarrow&\dfrac{\partial B}{\partial x}=\dfrac{\left( x^2 + y^2 \right) - x\;2\;x(2x)}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}\end{cases}</math>
*mais elle n'est pas exacte car son intégrale sur le cercle <math>\Gamma_r</math> de centre <math>(0,0)</math> et de rayon <math>r</math> et parcouru dans le sens trigonométrique, ou encore, son intégrale sur le carré <math>\mathcal C_r</math> orienté de sommets successifs <math>A=(r,r)</math>, <math>B=(-r,r)</math>, <math>C=(-r,-r)</math> et <math>D=(r,-r)</math>, ne donne pas <math>0</math> comme il serait nécessaire de trouver pour l'intégrale d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée.
*mais elle n'est pas exacte
{{Solution|titre=Détails du calcul|contenu=
*:car son intégrale sur le cercle <math>\Gamma</math> de centre <math>(0,0)</math> et de rayon <math>r</math> ne donne pas 0 comme il serait nécessaire de trouver pour l'intégrale d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée. En effet, en paramétrant le cercle <math>\Gamma</math> par <math>x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta</math>, dont on tire <math>dx = -r\sin\theta\;d \theta,\quad dy =r\cos\theta\;d \theta</math>, on obtient :
*:En paramétrant le cercle <math>\oint_\Gamma\omega</math> par <math>x=r\int_0^{2\pi}\left[-\frac{\sincos\theta}r,\left(-quad y=r\sin\theta\;d</math> (pour <math>\theta</math> allant de <math>0</math> à <math>2\rightpi</math>)+\frac{\cos\theta}, dont on tire <math>dx = -r\left(r\cossin\theta\;d \theta,\right)\right]quad dy =r\int_0^{2\pi}dcos\theta=\;d 2\pi\ne0theta</math>., on obtient :
*:<math>\oint_{\Gamma_r}\omega=\int_0^{2\pi}\left[-\frac{\sin\theta}r\left(-r\sin\theta\;d \theta \right)+\frac{\cos\theta}r\left(r\cos\theta\;d \theta\right)\right] =\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi\ne0</math>.
*Ou encore, en paramétrant respectivement les quatre segments <math>[A,B]</math>, <math>[B,C]</math>, <math>[C,D]</math> et <math>[DA]</math> par <math>t\mapsto(-t,a),(-a,-t),(t,-a),(a,t)</math> (pour <math>t</math> allant de <math>-a</math> à <math>a</math> dans les quatre cas) :
*:<math>\int_{[A,B]}\omega=\int_{[B,C]}\omega=\int_{[C,D]}\omega=\int_{[D,A]}\omega=\int_{-a}^a\frac a{a^2+t^2}\,\mathrm dt=\int_{-1}^1\frac1{1+s^2}\,\mathrm ds=\frac\pi2</math> donc <math>\oint_{\mathcal C_r}\omega=2\pi\ne0</math>.
}}
 
<u>Conclusion</u> : Les conditions d'égalité des dérivées croisées vérifiées par une forme différentielle (alors qualifiée de « fermée ») <u>ne sont pas suffisantes</u> pour que cette forme différentielle soit une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" />.
 
=== Conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire ===
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