« Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 360 » : différence entre les versions

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Tout groupe d'ordre 36 a un sous-groupe normal d'ordre 4 ou un sous-groupe normal d'ordre 9. (Indication : utiliser le [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|théorème du complément normal de Burnside]].)

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Soit H un groupe fini, soit ''p'' un nombre premier distinct de 2. On suppose que H contient un et un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P, et que P est commutatif. On suppose aussi que H n'a pas d'élément d'ordre 2p. Alors, pour tout élément ''t'' d'ordre 2 de H et tout élément ''a'' de H dont l'ordre est une puissance de ''p'',

On a vu en (4) que ''a'' et ''b'' commutent, donc, puisqu'ils ont pour ordre une puissance de ''p'', l'ordre de ''a b'' est une puissance de ''p''. Si cet ordre était distinct de 1, il serait de la forme <math>p^{n}</math> avec n > 0, donc, d'après (5), l'ordre de ''a b t'' serait <math>2 p^{n}</math> avec n > 0 (on utilise ici le fait que le nombre premier ''p'' est distinct de 2), donc l'ordre de ''a b t'' serait divisible par 2 ''p'', donc H comprendrait un élément d'ordre 2 ''p'', ce qui est contraire aux hypothèses. Donc <math>ab = 1, b = a^{-1},</math>ce qui, d'après la définition de ''b'', signifie que <math>tat^{-1} = a^{-1}.</math>

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