« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions

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Ligne 18 :
#<math>\omega=xy\,\mathrm dx+(x+y)\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est l'arc de parabole d'équation <math>y=x^2</math> pour <math>x</math> allant de <math>-1</math> à <math>2</math> ;
#<math>\omega=y\sin x\,\mathrm dx+x\cos y\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le segment de droite allant de <math>A=(0,0)</math> à <math>B=(1,1)</math> ;
#<math>\omega=x^2y\,\mathrm dx+xy\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le cercle unité centré en <math>0</math> et parcouru dans le sens trigonométrique. ;
#<math>\omega=y^2\,\mathrm dx+x^2\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est la courbe (orientée dans sens trigonométrique) d'équation :
#*<math>x^2+y^2-ay=0</math> (avec <math>a\in\R^*</math>) ;
#*<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2x}a-\frac{2y}b=0</math> (avec <math>a,b>0</math>).
{{Solution|contenu=
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t^2),\;t\in[-1,2]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,2t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t^3+2t(t+t^2)=3t^3+2t^2</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[3\frac{t^4}4+2\frac{t^3}3\right]_{-1}^2=\frac{69}4</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t),\;t\in[0,1]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,1)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t(\sin t+\cos t)</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[t(-\cos t+\sin t)-(-\sin t-\cos t)\right]_0^1=2\sin1-1</math>.
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=-\cos^2t\sin^2t+\cos^2t\sin t</math>. Or <math>\cos^2t\sin t=\left(\frac{-\cos^3t}3\right)'</math> et <math>\cos^2t\sin^2t=\frac{\sin^2(2t)}4=\frac{1-\cos(4t)}8</math>, donc <math>\int_\Gamma\omega=\left[-\frac t8+\frac{\sin(4t)}{32}-\frac{\cos^3t}3\right]_0^{2\pi}=\left[-\frac t8\right]_0^{2\pi}=-\frac\pi4</math>.
#
#*Paramétrons ce cercle <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=\frac a2(\cos t,1+\sin t),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=\frac a2(-\sin t,\cos t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=\frac{a^3}8\left(-\sin t(1+\sin t)^2+\cos^3t\right)</math>. Or <math>2\sin^2t=1-\cos(2t)</math>, <math>\sin^3t=(1-\cos^2t)\sin t</math> et <math>\cos^3t=(1-\sin^2t)\cos t</math>. Donc <math>\int_\Gamma\omega=\frac{a^3}8\int_0^{2\pi}\left(-\sin t-1+\cos(2t)-(1-\cos^2t)\sin t+(1-\sin^2t)\cos t\right)\,\mathrm dt=\frac{a^3}8\int_0^{2\pi}(-1)\,\mathrm dt=-\frac{\pi a^3}4</math>.
#*Paramétrons cette ellipse <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=\left(a(1+\sqrt2\cos t),b(1+\sqrt2\sin t)\right),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=\sqrt2\left(-a\sin t,b\cos t\right)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=ab\sqrt2\left(-b\sin t(1+\sqrt2\sin t)^2+a\cos t(1+\sqrt2\cos t)^2\right)</math>. Or <math>2\sin^2t=1-\cos(2t)</math>, <math>2\cos^2t=1+\cos(2t)</math>, <math>\sin^3t=(1-\cos^2t)\sin t</math> et <math>\cos^3t=(1-\sin^2t)\cos t</math>. Donc <math>\int_\Gamma\omega=ab\sqrt2\int_0^{2\pi}\left(-b\left\{\sin t+\sqrt2(1-\cos(2t))+2(1-\cos^2t)\sin t\right\}+a\left\{\cos t+\sqrt2(1+\cos(2t))+2(1-\sin^2t)\cos t\right\}\right)\,\mathrm dt=ab\sqrt2(-b\sqrt2+a\sqrt2)2\pi=4\pi ab(a-b)</math>.
}}
On considère sur <math>\R^2</math> la forme différentielle <math>\omega=x^2\,\mathrm dx-xy\,\mathrm dy</math>.