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Ligne 20 :
#<math>\omega=x^2y\,\mathrm dx+xy\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le cercle unité centré en <math>0</math> et parcouru dans le sens trigonométrique ;
#<math>\omega=y^2\,\mathrm dx+x^2\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est la courbe (orientée dans sens trigonométrique) d'équation :
#*<math>x^2+y^2-ay=0</math> (avec <math>a\in\R^*</math>)
#*<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2x}a-\frac{2y}b=0</math> (avec <math>a,b>0</math>)
#<math>\omega=y\,\mathrm dx+2x\,\mathrm dy</math> et <math>\Gamma</math> est le contour (parcouru une fois dans le sens direct) de <math>\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2\le2x,\;x^2+y^2\le2y\}</math>.
{{Solution|contenu=
#Paramétrons <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=(t,t^2),\;t\in[-1,2]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=(1,2t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=t^3+2t(t+t^2)=3t^3+2t^2</math> et <math>\int_\Gamma\omega=\left[3\frac{t^4}4+2\frac{t^3}3\right]_{-1}^2=\frac{69}4</math>.
Ligne 29 ⟶ 30 :
#*Paramétrons ce cercle <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=\frac a2(\cos t,1+\sin t),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=\frac a2(-\sin t,\cos t)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=\frac{a^3}8\left(-\sin t(1+\sin t)^2+\cos^3t\right)</math>. Or <math>2\sin^2t=1-\cos(2t)</math>, <math>\sin^3t=(1-\cos^2t)\sin t</math> et <math>\cos^3t=(1-\sin^2t)\cos t</math>. Donc <math>\int_\Gamma\omega=\frac{a^3}8\int_0^{2\pi}\left(-\sin t-1+\cos(2t)-(1-\cos^2t)\sin t+(1-\sin^2t)\cos t\right)\,\mathrm dt=\frac{a^3}8\int_0^{2\pi}(-1)\,\mathrm dt=-\frac{\pi a^3}4</math>.
#*Paramétrons cette ellipse <math>\Gamma</math> par <math>\gamma(t)=\left(a(1+\sqrt2\cos t),b(1+\sqrt2\sin t)\right),\;t\in[0,2\pi]</math>. Alors, <math>\gamma'(t)=\sqrt2\left(-a\sin t,b\cos t\right)</math>, donc <math>\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))=ab\sqrt2\left(-b\sin t(1+\sqrt2\sin t)^2+a\cos t(1+\sqrt2\cos t)^2\right)</math>. Or <math>2\sin^2t=1-\cos(2t)</math>, <math>2\cos^2t=1+\cos(2t)</math>, <math>\sin^3t=(1-\cos^2t)\sin t</math> et <math>\cos^3t=(1-\sin^2t)\cos t</math>. Donc <math>\int_\Gamma\omega=ab\sqrt2\int_0^{2\pi}\left(-b\left\{\sin t+\sqrt2(1-\cos(2t))+2(1-\cos^2t)\sin t\right\}+a\left\{\cos t+\sqrt2(1+\cos(2t))+2(1-\sin^2t)\cos t\right\}\right)\,\mathrm dt=ab\sqrt2(-b\sqrt2+a\sqrt2)2\pi=4\pi ab(a-b)</math>.
#<math>\Gamma</math> est la réunion de deux arcs de cercle <math>\Gamma_1,\Gamma_2</math>paramétrés respectivement par <math>\gamma_1:t\mapsto(1+\cos t,\sin t),\;t\in[\pi/2,\pi]</math> et <math>\gamma_2:t\mapsto(\cos t,1+\sin t),\;t\in[-\pi/2,0]</math>.<br><math>\int_{\Gamma_1}\omega=\int_\frac\pi2^\pi\left(-\sin^2t+2(1+\cos t)\cos t\right)\,\mathrm dt=\int_0^\frac\pi2\left(-\cos^2s-2(1-\sin s)\sin s\right)\,\mathrm ds</math> et <math>\int_{\Gamma_2}\omega=\int_{-\frac\pi2}^0\left(-(1+\sin t)\sin t+2\cos^2t\right)\,\mathrm dt=\int_0^\frac\pi2\left((1-\sin s)\sin s+2\cos^2s\right)\,\mathrm ds</math> donc <math>\int_\Gamma\omega=\int_0^\frac\pi2\left(\cos^2s-\sin s+\sin^2s\right)\,\mathrm ds=\int_0^\frac\pi2\left(1-\sin s\right)\,\mathrm ds=\left[s+\cos s\right]_0^\frac\pi2=\frac\pi2-1</math>.
}}
On considère sur <math>\R^2</math> la forme différentielle <math>\omega=x^2\,\mathrm dx-xy\,\mathrm dy</math>.
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