« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions
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Ligne 204 :
#<math>\frac{\partial f}{\partial x}=y\sin x\Leftrightarrow f(x,y)=-y\cos x+g(y)</math>, et <math>\frac\partial{\partial y}\left(-y\cos x+g(y)\right)=\sin^2y-\cos+1\Leftrightarrow g'(y)=1+sin^2y=1+\frac{1-\cos(2y)}2=\frac{3-\cos(2y)}2\Leftrightarrow g(y)=\frac{3y}2-\frac{\sin(2y)}4+K\quad(K\in\R)</math>. Les primitives de <math>\omega</math> sont donc les fonctions de la forme <math>f(x,y)=-y\cos x+\frac{3y}2-\frac{\sin(2y)}4+K\quad(K\in\R)</math>.
#<math>\gamma(\pi)=(\pi^2+\pi^5,0)</math>, <math>\gamma(0)=(0,0)</math> et <math>f(x,0)=K</math> donc <math>\int_\Gamma\omega=K-K=0</math>.
}}
Mêmes questions pour <math>P(x,y)=\frac{2xy}{(1+x^2)^2}</math>, <math>Q(x,y)=\phi(x)</math> et <math>\Gamma=</math> l'ellipse d'équation <math>\frac{x^2}7+\frac{y^2}3=1</math>, orientée dans le sens direct.
{{Solution|contenu=
#<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\Leftrightarrow\phi'(x)=\frac{2x}{(1+x^2)^2}\Leftrightarrow\phi(x)=-\frac1{1+x^2}+C</math> et alors, <math>\phi(0)=0\Leftrightarrow C=1</math>. La solution est donc : <math>\phi(x)=1-\frac1{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}</math>.
#<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy}{(1+x^2)^2}\Leftrightarrow f(x,y)=-\frac y{1+x^2}+g(y)</math>, et alors, <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow-\frac1{1+x^2}+g'(y)=\frac{x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow g'(y)=1\Leftrightarrow g(y)=y+K\quad(K\in\R)</math>.
#<math>\omega</math> est exacte (sur <math>\R^2</math>) et <math>\Gamma</math> est fermée, donc <math>\int_\Gamma\omega=0</math>.
}}
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