« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions
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→Exercice 28-12 : +1 |
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Ligne 210 :
#<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy}{(1+x^2)^2}\Leftrightarrow f(x,y)=-\frac y{1+x^2}+g(y)</math>, et alors, <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow-\frac1{1+x^2}+g'(y)=\frac{x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow g'(y)=1\Leftrightarrow g(y)=y+K\quad(K\in\R)</math>. Les primitives de <math>\omega</math> sont donc les fonctions de la forme <math>f(x,y)=-\frac y{1+x^2}+y+K=\frac{x^2y}{1+x^2}+K\quad(K\in\R)</math>.
#<math>\omega</math> est exacte (sur <math>\R^2</math>) et <math>\Gamma</math> est fermée, donc <math>\int_\Gamma\omega=0</math>.
}}
==Exercice 28-13==
On considère la couronne <math>D=\{(x,y)\in\R^2\mid1\le x^2+y^2\le4\}</math>. Retrouver l'aire de <math>D</math> en utilisant la formule de Green-Riemann.
{{Solution|contenu=
On sait ''a priori'' que cette aire vaut <math>\pi2^2-\pi1^2=3\pi</math>.
Choisissons une forme différentielle <math>\omega</math> définie au voisinage de <math>D</math> et telle que <math>\mathrm d\omega=\mathrm dx\,\mathrm dy</math>. Par exemple : <math>\omega=\frac12(x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx)</math>. L'aire de <math>D</math> est alors égale à
<math>\int_D\mathrm d\omega=\int_{\partial D}\omega=\int_0^{2\pi}4\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}2\,\mathrm d\theta+\int_{2\pi}^0\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}2\,\mathrm d\theta=3\pi</math>.
}}
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