« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 28-12 : +1 |
→Exercice 28-11 : +1sous-question(+mep+réps) |
||
Ligne 170 :
#
##<math>\int_{[A,B]}\omega=\int_{[A,B]}0=0</math> (car <math>y=0</math> sur <math>[A,B]</math>).<br><math>\int_{[B,C]}\omega=\int_0^1y\left(-(1-y)+y\right)\,\mathrm dy=\left[\frac{2y^3}3-\frac{y^2}2\right]_0^1=\frac16</math>.<br><math>\int_{[C,A]}\omega=\int_1^0y\left(0+y\right)\,\mathrm dy=\left[\frac{y^3}3\right]_1^0=-\frac13</math>.<br><math>\int_\Gamma\omega=0+\frac16-\frac13=-\frac16</math>.
##<math>\mathrm d\omega=\left(\frac{\partial(y^2)}{\partial x}-\frac{\partial(xy)}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=-x\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>. Soit <math>T</math> le triangle de bord <math>\Gamma</math>. <math>\int_\Gamma\omega=\
#Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
}}
Ligne 183 :
=0+\int_\pi^0x\sin x\,\mathrm dx+\int_0^0u\,\mathrm du=-\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx</math><br>et <math>-\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=\left[-x\cos x\right]_\pi^0+\int_\pi^0\cos x\,\mathrm dx=-\pi</math>.
##<math>\mathrm d\omega=\left(\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial(xy)}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=-x\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>.
##*Soit <math>T</math> le triangle de bord <math>\Gamma</math>. <math>\int_\Gamma\omega=\
##*<math>\int_\Gamma\mathrm d\omega=-\
#Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
}}
Mêmes questions pour
#<math>\omega=(x+y)\,\mathrm dx+(2x+y)\,\mathrm dy</math> ;
#<math>\omega=xy(y\,\mathrm dx+2\,\mathrm dy)</math>.
{{Solution|contenu=
#
##<math>\Gamma</math> est constitué de deux segments <math>[B,O]</math> et <math>[O,A]</math> et d'un quart de cercle <math>\overset{\displaystyle\frown}{AB}</math>.
##*<math>\int_{[ ##*<math>\
##
##*<math>\mathrm d\omega=\mathrm dx\,\mathrm dy</math>. <math>\int_\Gamma\omega=\iint_D\mathrm d\omega=\frac\pi4</math> (aire du quart de disque unité).
##*<math>\mathrm d\omega=2y(1-x)\,\mathrm dx\mathrm dy</math>. <math>\int_\Gamma\omega=2\iint_Dy(1-x)\,\mathrm dx\mathrm dy=2\iint_{0\le r\le1\atop0\le\theta\le\frac\pi2}r\sin\theta(1-r\cos\theta)\,r\mathrm dr\mathrm d\theta=
2\left(\int_0^\frac\pi2\left(\frac13-\frac{\cos\theta}4\right)\,\sin\theta\,\mathrm d\theta\right)=
2\left(\int_1^0\left(\frac13-\frac u4\right)\,(-\mathrm du)\right)=2\left(\frac13-\frac18\right)=\frac5{12}</math>.
#Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
}}
| |||