« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions
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Ligne 226 :
Choisissons une forme différentielle <math>\omega</math> définie au voisinage de <math>D</math> et telle que <math>\mathrm d\omega=\mathrm dx\,\mathrm dy</math>. Par exemple : <math>\omega=\frac12(x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx)</math>. L'aire de <math>D</math> est alors égale à
<math>\int_D\mathrm d\omega=\int_{\partial D}\omega=\int_0^{2\pi}4\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}2\,\mathrm d\theta+\int_{2\pi}^0\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}2\,\mathrm d\theta=3\pi</math>.
}}
==Exercice 28-14==
Utiliser le théorème de Green-Riemann pour calculer <math>\int_\gamma\omega</math> dans les cas suivants (<math>\Gamma</math> est parcourue dans le sens trigonométrique).
#<math>\Gamma</math> est le cercle de centre <math>(0,0)</math> et de rayon <math>R</math> et <math>\omega=xy(-x\,\mathrm dx+\mathrm dy)</math> ;
#<math>\Gamma</math> est le même cercle et <math>\omega=(x^2-y)\,\mathrm dx+(y^2+x)\,\mathrm dy</math> ;
#<math>\Gamma</math> est le contour du triangle de sommets <math>(1,1)</math>, <math>(2,2)</math> et <math>(1,3)</math>, et <math>\omega=2(x^2+y^2)\,\mathrm dx+(x+y)^2\,\mathrm dy</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\int_\gamma\omega=\iint_{x^2+y^2\le R^2}(x^2+y)\,\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{0\le r\le R\atop0\le\theta\le2\pi}(r^2\cos^2\theta+r\sin\theta)\,r\mathrm dr\mathrm d\theta=\int_0^{2\pi}\left(\frac{R^4}4\cos^2\theta+\frac{R^3}3\sin\theta\right)\,\mathrm d\theta=\frac{R^4}4\int_0^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}2\,\mathrm d\theta=\frac{R^4}4\left[\frac\theta2+\frac{\sin(2\theta)}4\right]_0^{2\pi}=\frac{\pi R^4}4</math> ;
#<math>\int_\gamma\omega=\iint_{x^2+y^2\le R^2}2\,\mathrm dx\mathrm dy=2\pi R^2</math> ;
#<math>\int_\gamma\omega=\iint_{1\le x\le2\atop x\le y\le4-x}2(x-y)\,\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{1\le x\le2\atop0\le t\le2x-4}-2t\,\mathrm dx\mathrm dt=\int_1^2\left[-t^2\right]_0^{2x-4}\,\mathrm dx=-4\int_1^2(x-2)^2\,\mathrm dx=-4\left[\frac{u^3}3\right]_{-1}^0=-\frac43</math>.
}}
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