« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction » : différence entre les versions
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Ligne 226 :
Choisissons une forme différentielle <math>\omega</math> définie au voisinage de <math>D</math> et telle que <math>\mathrm d\omega=\mathrm dx\,\mathrm dy</math>. Par exemple : <math>\omega=\frac12(x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx)</math>. L'aire de <math>D</math> est alors égale à
<math>\int_D\mathrm d\omega=\int_{\partial D}\omega=\int_0^{2\pi}4\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}2\,\mathrm d\theta+\int_{2\pi}^0\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}2\,\mathrm d\theta=3\pi</math>.
}}
Soit <math>a>0</math>. Utiliser le théorème de Green-Riemann pour calculer l'aire du domaine <math>D</math> délimité par l'[[Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 1|astroïde]] <math>x=\cos^3t,y=\sin^3t\;(\theta\in[0,2\pi])</math>.
{{Solution|contenu=
Choisissons une forme différentielle <math>\omega</math> définie au voisinage de <math>D</math> et telle que <math>\mathrm d\omega=\mathrm dx\,\mathrm dy</math>. Par exemple : <math>\omega=\frac12(x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx)</math>. L'aire de <math>D</math> est alors égale à
<math>\int_D\mathrm d\omega=\int_{\partial D}\omega=\int_0^{2\pi}\frac32\left(\cos^4\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta\cos^2\theta\right)\,\mathrm d\theta=\frac32\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,\mathrm d\theta=\frac38\int_0^{2\pi}\sin^2(2\theta)\,\mathrm d\theta=\frac3{16}\int_0^{2\pi}\left(1-\cos(4\theta)\right)\,\mathrm d\theta=\frac{3\pi}8</math>.
}}
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