« Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées » : différence entre les versions
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Ligne 463 :
*En posant <math>t=\frac yx</math>, l'équation équivaut à <math>x^3\left(1+t^3\right)^2=3x^2t</math>.<br>La courbe est donc paramétrable par : <math>x=\frac{3t}{1+t^3},\quad y=\frac{3t^2}{1+t^3}</math>. {{Lien web|url=http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard.Eguether/COURBE/PARAMETREE/000liste2/068para.pdf|titre=Étude et tracé du folium de Descartes|auteur=Gerard Eguether|année=2012}}
*Le seul point singulier étant <math>(1,-1)</math>, posons <math>u=x-1</math> et <math>v=y+1</math>.<br>L'équation équivaut alors à <math>u^3-v^3+3u^2+3v^2+uv=0</math>, soit, en posant <math>t=\frac vu</math> : <math>u^3(1-t^3)+u^2(3+3t^2+t)=0</math>.<br>La courbe est donc paramétrable par : <math>x=1+\frac{3+3t^2+t}{t^3-1},\quad y=-1+\frac{t(3+3t^2+t)}{t^3-1}</math>.
}}
==Exercice 17==
Étude locale.
#Déterminez la nature, au point correspondant à la valeur <math>t=0</math> du paramètre, des courbes paramétrées suivantes :
##<math>t\mapsto(t+2t^2-t^3,t+2t^2-t^7)</math> ;
##<math>t\mapsto(-t+t^2,t^2+t^3)</math> ;
##<math>t\mapsto(t^2+3t^3+t^4,-2t^2-6t^3+t^4)</math> ;
##<math>t\mapsto(-t^2-2t^3,-t^3-t^5)</math>.
#Déterminez les points d'inflexion de la courbe <math>t\mapsto((t-2)^3,t^2-4)</math>.
{{Solution|contenu=
#
##<math>\gamma'(t)=(1+4t-3t^2,1+4t-7t^6),\;\gamma''(t)=(4-6t,4-42t^5),\;\gamma'''(t)=(-6,-210t^4)</math> donc <math>\gamma'(0)=(1,16),\;\gamma''(0)=4\gamma'(0),\;\gamma'''(0)=(-6,0)</math> et <math>\gamma(0)</math> est un point d'inflexion (car <math>p=1,q=3</math>).
##<math>\gamma'(t)=(-1+2t,2t+3t^2),\;\gamma''(t)=(2,2+6t)</math> donc <math>\gamma'(0)=(-1,0),\;\gamma''(0)=(2,2)</math> et <math>\gamma(0)</math> est un point ordinaire (car <math>p=1,q=2</math>).
##<math>\gamma'(t)=(2t+9t^2+4t^3,-4t-18t^2+4t^3),\;\gamma''(t)=(2+18t+12t^2,-4-36t+12t^2),\;\gamma'''(t)=(18+24t,-36+24t),\;\gamma^{(4)}(t)=(24,24)</math> donc <math>\gamma'(0)=\vec0,\;\gamma''(0)=(2,-4),\;\gamma'''(0)=9\gamma''(0),\;\gamma^{(4)}(0)=(24,24)</math> et <math>\gamma(0)</math> est un point de rebroussement de deuxième espèce (car <math>p=2,q=4</math>).
##<math>\gamma'(t)=(-2t-6t^2,-3t^2-5t^4),\;\gamma''(t)=(-2-12t,-6t-20t^3),\;\gamma'''(t)=(-12,-6-60t^2)</math> donc <math>\gamma'(0)=\vec0,\;\gamma''(0)=(-2,0),\;\gamma'''(0)=(-12,-6)</math> et <math>\gamma(0)</math> est un point de rebroussement de première espèce (car <math>p=2,q=3</math>).
#<math>\forall t\quad\gamma'(t)=(3(t-2)^2,2t)\ne\vec0</math> donc <math>p=1</math>. <math>\gamma''(t)=(6(t-2),2)</math> est colinéaire à <math>\gamma'(t)</math> si et seulement si <math>3(t-2)^2=6(t-2)t</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>t=\pm2</math>. <math>\gamma'''(\pm2)=(6,0)</math> n'est colinéaire ni à <math>\gamma'(2)=(0,4)</math>, ni à <math>\gamma'(-2)=(48,-4)</math> donc il y a deux points d'inflexion : <math>\gamma(\pm2)</math>, avec <math>p=1,q=3</math>.
}}
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