« Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées » : différence entre les versions

&-\infty&&&&&&&&&&-\infty&\Big\Vert&&&&&&&\\

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#On étudie <math>x=\frac{t^3}{1+3t},y=\frac{3t^2}{1+3t}</math> pour <math>t\in\R\setminus\left\{-\frac13\right\}</math>.<br><math>x'=3t^2\frac{1+2t}{\left(1+3t\right)^2},y'=3t\frac{2+3t}{\left(1+3t\right)^2}</math> donc le point <math>\left(x,y\right)\left(0\right)=\left(0,0\right)</math> est singulier (rebroussement de première espèce à tangente verticale car <math>\frac yx=\frac3t</math>), et deux autres points remarquables sont <math>\left(x,y\right)\left(-\frac12\right)=\left(\frac14,-\frac32\right)</math> (tangente verticale), <math>\left(x,y\right)\left(-\frac23\right)=\left(\frac8{27},-\frac43\right)</math> (tangente horizontale).<br><math>\left(x,y\right)\sim_{t\to\pm\infty}\left(\frac{t^2}3,t\right)</math> donne deux branches paraboliques de direction horizontale.<br>Quand <math>t\to-\frac13</math>, <math>y+9x=3t^2\to\frac13</math> donne une asymptote <math>y=-9x+\frac13</math>.<br>La position de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe de <math>y\left(t\right)-\left(-9x\left(t\right)+\frac13\right)=3t^2-\frac13=\frac{\left(3t-1\right)\left(3t+1\right)}3</math>, donc la courbe est en dessous si <math>-\frac13<t<\frac13</math> et au-dessus sinon (en particulier : au-dessus pour les deux points remarquables correspondant à <math>t=-\frac12</math> et <math>t=-\frac23</math>).

#<math>x=t^2+t^3=t^2\left(1+t\right),y=t^2+t^3-2t^4-2t^5=x\left(1-2t^2\right)</math>.<br>Deux branches paraboliques de direction verticale quand <math>t\to\pm\infty</math>.<br>Point singulier avec rebroussement de deuxième espèce pour <math>t=0</math>, avec tangente <math>y=x</math>.<br>La courbe repasse par ce point <math>\left(0,0\right)</math> pour <math>t=-1</math>, avec tangente <math>y=-x</math>.