Il n’est pas nécessaire de déterminer les directions principales pour pouvoir travailler en coordonnées de Riemann car les lois de la physiquesphysique sont, par hypothèse, invariantes par changement de référentiel. Il n'est donc pas nécessaire non plus de déterminer les changements d'échelles nécessaires pour obtenir des coefficients de la métrique égaux à un au point de contact entre la surface courbe et le plan de Riemann. On retrouve la métrique euclidienne caractérisée par le théorème de Pythagore pour ''K = 0'' mais aussi à l'origine (''x = 0'', ''y = 0''), quelle que soit la valeur de ''K''. En coordonnées de Riemann, on a la même métrique pour tous les paraboloïdes de même courbure de Gauss, y compris la sphère, approximée localement par un paraboloïde de révolution.
