« Géométrie affine/Exercices/Applications affines » : différence entre les versions

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→‎Exercice 2-3 : question remplacée par une plus intéressante
Ligne 31 :
:<math>f(x,y,z)=\frac{(y+z+3,y+z+5,y+z+7)}2</math>.
#Montrer que <math>\vec f</math> est une projection dont on déterminera les caractéristiques. L'application <math>f</math> est-elle une projection ?
#Soit <math>\tau</math> la translation de vecteur <math>(3,3,3)</math>. IdentifierMontrer l'applicationque <math>f=\pi\circ\tau=\tau\circ\pi</math>, où <math>\pi</math> est une projection affine à déterminer.
{{Solution|contenu=
#<math>\vec f(x,y,z)=\frac{(y+z,y+z,y+z)}2</math> donc <math>\vec f</math> a pour noyau le plan <math>P</math> d'équation <math>y+z=0</math> et pour sous-espace de vecteurs fixes la droite <math>D</math> d'équations <math>x=y=z</math>. C'est donc la projection (vectorielle) sur <math>D</math> parallèlement à <math>P</math>. Mais <math>f</math> n'est pas une projection (affine) car elle n'a aucun point fixe.
#Soit <math>\pi=f\circ\tau^{-1}</math> (ainsi, on aura par construction <math>f=\pi\circ\tau</math>). Alors, <math>\pi(x,y,z)=\frac{(y+z-3,y+z-1,y+z+1)}2</math> est égal à <math>(x,y,z)</math> si et seulement si <math>y=z-1</math> et <math>x=z-2</math>, ce qui définit une droite affine <math>\mathcal D</math> (de direction <math>D</math>) et <math>\pi</math> est la projection (affine) sur cette droite, parallèlement à <math>P</math>. De plus, <math>\tau\circ\pi=\pi\circ\tau</math> puisque <math>(3,3,3,)\in D</math>.
#<math>f\circ\tau</math> non plus car <math>f(x+3,y+3,z+3)=\frac{(y+z+9,y+z+11,y+z+13)}2</math>.
}}