« Théorie de la mesure/Tribus » : différence entre les versions

Pour ce qui est des mesures, la structure sous-jacente est celle de « '''tribu''' », ou « '''σ-algèbre''' ». C'est un ensemble de parties de <math>X</math>. Un ensemble <math>X</math> muni d'une tribu <math>\mathcal{A}</math> est appelé « '''espace mesurable''' ». Il est nécessaire de munir un ensemble d'une tribu pour pouvoir effectivement mesurer ses parties, même dans le cas le plus naturel et le plus pratique où l'on veut mesurer des parties de <math>\R</math>. En effet au cours du siècle dernier il a été montré qu'il n'est pas possible d'associer à toute partie de <math>\R</math> une longueur, ni même d'associer à toute partie du plan une aire et il en va de même pour les dimensions supérieures. Il est donc nécessaire de définir qui sont les parties mesurables.

Il est possible d'y définir une mesure. Naturellement, on définit d'abord la mesure d'un ensemble simple (par exemple la longueur d'un intervalle) puis on étend cette mesure à des objets plus complexes en découpant ces dernier objets en des ensembles simples. Pour recoller les morceaux une manière naturelle est d'en prendre l'union puis de mesurer cette union, il faut donc supposer notre classe stable par union. Mais une barrière fondamentale est la dénombrabilité du nombre de morceaux, ; en effet, si l'on est trop gourmand et que l'on n'impose pas un découpage dénombrable on autorise toutes les parties de <math>X</math> donc trop de mesurableparties mesurables.{{Propriété|titre=Définition équivalente|contenu=