« Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 360 » : différence entre les versions

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{{{Exercice
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 35
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== Problème 1. (Préliminaire 1 du chapitre théorique) ==
 
Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier, P un p-sous-groupe de Sylow cyclique de G. SiProuver P est cyclique,que l'indice [N<sub>G</sub>(P) : C<sub>G</sub>(P)] divise p-1. (Indication : utiliser le [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|lemme N/C]] et le chapitre [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]].)
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{{Solution
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== Problème 5. (Non-simplicité des groupes d'ordre 720) ==
On va prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720. L'essentiel de la démonstration consistera à prouver que dans un groupe simple d'ordre 720, les 3-sous-groupes de Sylow devraient être en nombre 10, isomorphes à <math>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> et se couper trivialement deux à deux. Cela fait, un résultat du [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 360/|chapitre théorique]] fournira immédiatement une contradiction.
 
a) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que tout sous-groupe propre de G est d'ordre <math>\leq 90 .</math>
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{{Solution
| contenu =
Soit H un sous-groupe propre de G; notons <math>n</math> l'indice [G:H]. D'après le chapitre [[../../Premiers résultats sur les groupes simples/]], G est isomorphe à un sous-groupe de <math>A_{n}</math>, donc <math>\vert A_{n} \vert</math> est divisible par <math>\vert G \vert = 720 .</math> Comme 720 est divisible par 16, <math>\vert A_{n} \vert</math>, c'est-à-dire <math>n !/2</math>, est donc divisible par 16. Puisque <math>7 !/2</math> n'est pas divisible par 16, il faut donc <math>n \geq 8</math>, <math>[G:H] \geq 8</math>, autrement dit <math>\vert H \vert \leq 90 .</math>
}}
b) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver qu'un des deux cas suivants a lieu :
:(i) les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 10 et leurs normalisateurs dans G sont d'ordre 72;
:(ii) les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 40 et leurs normalisateurs dans G sont d'ordre 18.
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{{Solution
| contenu =
Notons <math>n</math> le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de G.<br />
D'après le chapitre [[../../Premiers résultats sur les groupes simples/]], G est isomorphe à un sous-groupe de <math>A_{n} .</math> Comme dans la solution du point a), on en déduit que
:(1) <math>\qquad n \geq 8 .</math>
(On pourrait d'ailleurs appliquer le point a) au sous-groupe propre <math>N_{G}(P)</math> de G, où P désigne un 3-sous-groupe de Sylow de G.)<br />
D'autre part, d'après les théorèmes de Sylow,
:<math>n</math> est <math>\equiv 1 \pmod{3}</math> et divise <math>\vert G \vert / 9 = 80 .</math>
Joint à (1), cela montre que
:(2) <math>\qquad n</math> est égal à un des nombres 10, 16, 40.
Si <math>n</math> était égal à 16, le normalisateur dans G d'un 3-sous-groupe de Sylow P de G serait d'ordre <math>\vert G \vert / 16 = 45 .</math> Mais, d'après un exercice du chapitre [[../Groupes nilpotents/]], tout groupe d'ordre 45 est abélien, donc <math>N_{G}(P)</math> serait abélien, ce qui contredit une conséquence du théorème du complément normal de Burnside (ou encore le lemme <math>P \cap Z(N_{G}(P)) = 1</math>, démontré dans le chapitre [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/]]). Donc <math>n</math> est distinct de 16, donc, d'après (2),
:<math>n</math> est égal à 10 ou à 40.
Puisque le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de G est égal à l'indice dans G de n'importe lequel de ces 3-sous-groupes de Sylow, l'énoncé en résulte.
}}
c) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que G n'a pas de sous-groupe d'ordre 45 ni de sous-groupe d'ordre 90.<br />
Indication : si H est un sous-groupe d'ordre 45 de G, raisonner sur le normalisateur dans G d'un 3-sous-groupe de Sylow de H. Utiliser la question b).
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{{Solution
| contenu =
Supposons que, par absurde, H soit un sous-groupe d'ordre 45 de G. D'après un exercice sur les groupes nilpotents déjà utilisé au point b), H est abélien. Donc H a un unique 3-sous-groupe de Sylow, soit P. Puisque H est abélien, H est contenu dans <math>N_{G}(P)</math>, donc <math>\vert N_{G}(P) \vert </math> est divisible par <math>\vert H \vert = 45</math>. C'est impossible, car P est un 3-sous-groupe de Sylow de G, ce qui, d'après le point b), entraîne que <math>\vert N_{G}(P) \vert </math> est égal à 18 ou à 72. La contradiction obtenue prouve que
:(1)<math>\qquad </math>G n'a pas de sous-groupe d'ordre 45.
On a vu dans un [[../Groupes alternés/|exercice sur le chapitre Groupes alternés]], et aussi dans un [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|exercice sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside]], que tout groupe fini d'ordre pair non divisible par 4 contient un sous-groupe d'indice 2. Donc si G avait un sous-groupe d'ordre 90, il aurait un sous-groupe d'ordre 45, ce qui contredit (1). Donc G n'a pas de sous-groupe d'ordre 90, ce qui achève la démonstration.
}}
d) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Soit Q un sous-groupe Q d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G (à supposer qu'il existe un tel sous-groupe Q). Prouver que
:(i)<math>\qquad </math>les 3-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les 3-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math>;
:(ii)<math>\qquad </math>les 3-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math> sont en nombre 4;
:(iii)<math>\qquad </math>Q est contenu dans exactement quatre 3-sous-groupes de Sylow de G;
:(iv)<math>\qquad \vert N_{G}(Q) \vert </math> est égal à 36 ou à 72.
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{{Solution
| contenu =
Les 3-sous-groupes de Sylow de G sont d'ordre 9 et sont donc abéliens, donc, d'après [[../Théorèmes de Sylow/|un exercice sur le chapitre Théorèmes de Sylow]],
:(1)<math>\qquad </math>les 3-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont les 3-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math>
Puisque G est simple, <math>N_{G}(Q) </math> est un sous-groupe propre de G, donc, d'après les questions a) et c),
:(2)<math>\qquad \vert N_{G}(Q) \vert < 90</math>
et
:(3)<math>\qquad \vert N_{G}(Q) \vert </math> n'est pas divisible par 45.
Puisque Q est contenu dans au moins un 3-sous-groupe de Sylow de G (et même dans plusieurs, vu les hypothèses de l'énoncé) et qu'un tel 3-sous-groupe de Sylow de G est d'ordre 9, il résulte de (1) que
:(4)<math>\qquad \vert N_{G}(Q) \vert </math> est divisible par 9.
Donc (3) revient à dire que <math>\vert N_{G}(Q) \vert </math> n'est pas divisible par 5. Dès lors, puisque, d'après (4), <math>\vert N_{G}(Q) \vert </math> est divisible par 9 et que, d'autre part, <math>\vert N_{G}(Q) \vert </math> divise <math> \vert G \vert = 720</math>, nous avons
:(5)<math>\qquad \vert \vert N_{G}(Q) \vert = 9 \cdot 2^{n}</math>,
où <math>2^{n}</math> divise 16. Puisqu'on a vu en (2) que <math>\vert N_{G}(Q) \vert < 90</math>, (5) montre que
:(6)<math>\qquad \vert N_{G}(Q) \vert = 9 \cdot 2^{n}</math>, avec <math>n \leq 3.</math>
De (6) et des théorèmes de Sylow, il résulte que le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q) </math> est <math>\equiv 1 \pmod{3}</math> et divise 8; de plus, d'après les hypothèses de l'énoncé et le résultat (1), ce nombre est > 1. Donc
:(7) <math>\qquad </math>les 3-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q) </math> sont en nombre 4,
ce qui, d'après (1), revient à dire que
:(8) <math>\qquad </math>les 3-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont en nombre 4,
De (7) et des théorèmes de Sylow, il résulte que <math>\vert N_{G}(Q) \vert </math> est divisible par 4, donc, d'après (6), il est égal à 36 ou à 72. Joint aux résultats (1), (7) et (8), cela démontre l'énoncé.
}}
e) Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert </math>, soit <math>p^{n}</math> la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert G \vert </math>, soit Q un sous-groupe d'ordre <math>p^{n-1}</math> de G contenu dans plusieurs <math>p-</math>sous-groupes de Sylow de G. Prouver que Q est un sous-groupe caractéristique de <math> N_{G}(Q) </math> et en déduire que <math> N_{G}(Q) </math> est son propre normalisateur dans G.
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{{Solution
| contenu =
Puisque Q est d'indice premier dans tout <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q, il résulte de la formule des indices que
:(1)<math>\qquad </math>Q est sous-groupe maximal de tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'autre part, tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G est un p-groupe et est donc nilpotent. Or, d'après le chapitre [[../../Groupes nilpotents/]], tout sous-groupe maximal d'un groupe nilpotent est normal dans ce groupe. Donc, d'après (1),
:<math>\qquad </math>Q est normal dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'après un exercice sur le chapitre [[../Théorèmes de Sylow/]], il en résulte que
:<math>\qquad </math>les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math>
Il en résulte d'une part que
:(2)<math>\qquad </math>Q est contenu dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q) </math>
et d'autre part, vu les hypothèses de l'énoncé, que
:(3)<math>\qquad N_{G}(Q) </math> a plusieurs <math>p</math>-sous-groupes de Sylow.
Le résultat (2) revient à dire que
:(4)<math>\qquad </math>Q est contenu dans l'intersection des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math>
D'autre part, d'après (3), cette intersection est d'ordre <math>\leq p^{n-1} = \vert Q \vert .</math> Joint à (4), cela montre que
:<math>\qquad </math>Q est l'intersection des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q) </math>, donc, d'après [[../Sous-groupes caractéristiques/|un exercice sur le chapitre Sous-groupes caractéristiques]],
:(5)<math>\qquad </math>Q est un sous-groupe caractéristique de <math>N_{G}(Q) .</math>
Désignons par N le normalisateur de <math>N_{G}(Q) </math> dans G. Alors <math>N_{G}(Q) </math> est normal dans N, donc, d'après (5), Q est normal dans N, donc <math>N \subseteq N_{G}(Q) .</math> Comme, d'autre part, N contient évidemment <math>N_{G}(Q) </math>, on a donc <math>N = N_{G}(Q) </math>, c'est-à-dire que <math>N_{G}(Q) </math> est son propre normalisateur dans G. Joint à (5), cela démontre l'énoncé.
}}
f) Comme à la question d), on suppose que G est un groupe simple d'ordre 720 et Q un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G. Prouver que
:<math>\qquad \vert N_{G}(Q) \vert = 72 .</math>
Indication : supposer que, par absurde, <math>\vert N_{G}(Q) \vert = 36</math>; en utilisant un problème ci-dessus sur les groupes d'ordre 36 et [[../Groupes nilpotents/|un exercice sur le chapitre Groupes nilpotents]], prouver qu'il existe un sous-groupe H d'ordre 4 de <math>N_{G}(Q) </math> tel que
:<math>\qquad N_{G}(Q) < N_{G}(H)</math> et <math>[N_{G}(H) : N_{G}(Q)] = 2</math>;
à l'aide de la question e), en déduire une contradiction.
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{{Solution
| contenu =
D'après la question d), <math>\vert N_{G}(Q) \vert </math> est égal à 36 ou à 72. Il suffit donc de prouver que <math>\vert N_{G}(Q) \vert \not= 36 .</math><br />
Supposons que, par absurde,
:(hyp. 1)<math>\qquad \vert N_{G}(Q) \vert = 36 .</math>
D'après un problème ci-dessus, tout groupe d'ordre 36 est 2-clos ou 3-clos, donc <math>N_{G}(Q) </math> est 2-clos ou 3-clos. Mais <math>N_{G}(Q) </math> n'est pas 3-clos, car on a vu à la question d) qu'il a quatre 3-sous-groupes de Sylow. Donc <math>N_{G}(Q) </math> est 2-clos, ce qui, dans notre hypothèse (1), revient à dire qu'il a un sous-groupe normal H d'ordre 4. Alors
:(2)<math>\qquad N_{G}(Q) \subseteq N_{G}(H) .</math>
Puisque H est un 2-sous-groupe de G et n'est pas un 2-sous-groupe de Sylow de G, il résulte d'[[../Groupes nilpotents/|un exercice sur le chapitre Groupes nilpotents]] que <math>N_{G}(H)</math> contient un sous-groupe d'ordre 8 (contenant H), donc
:(3)<math>\qquad \vert N_{G}(H) \vert</math> est divisible par 8.
D'autre part, il résulte de (2) que <math>\vert N_{G}(H) \vert</math> est divisible par <math>\vert N_{G}(Q) \vert = 36</math>, ce qui, joint à (3), montre que
:(4)<math>\qquad \vert N_{G}(H) \vert</math> est divisible par 72.
Donc, d'après notre hypothèse (1) et notre résutat (2),
:<math>\qquad N_{G}(Q)</math> est un sous-groupe d'indice 2 de <math>N_{G}(H)</math>,
donc
:<math>\qquad N_{G}(Q)</math> est un sous-groupe propre normal de <math>N_{G}(H) .</math>
C'est impossible, car d'après la question e) (où on fait p = 3 et n = 2), <math>N_{G}(Q)</math> est son propre normalisateur dans G. La contradiction obtenue prouve que notre hypothèse (1) est fausse, ce qui, comme nous l'avons vu, démontre l'énoncé.
}}
g) Soient G un groupe fini, <math>p</math> un nombre premier et Q un <math>p</math>-sous-groupe de G. Prouver qu'il existe un et un seul nombre naturel <math>conj_{p}(Q)</math> tel que chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement <math>conj_{p}(Q)</math> G-conjugués de Q.
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
Pour tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow P de G, notons <math>X_{Q}(P)</math> l'ensemble des G-conjugués de Q contenus dans P.<br />
Soient <math>P_{1}</math> et <math>P_{2}</math> des p-sous-groupes de Sylow de G. D'après les théorèmes de Sylow, <math>P_{1}</math> et <math>P_{2}</math> sont conjugués dans G, donc il existe un élément <math>g</math> de G tel que
:<math>g P_{1} g^{-1} = P_{2} .</math>
Si <math>Q_{1}</math> désigne un G-conjugué de Q contenu dans <math>P_{1}</math>, alors <math>g \ Q_{1} \ g^{-1}</math> est un conjugué de Q contenu dans <math>P_{2} .</math><br />
De même, si <math>Q_{2}</math> désigne un G-conjugué de Q contenu dans <math>P_{2}</math>, alors <math>g^{-1} \ Q_{2} \ g</math> est un conjugué de Q contenu dans <math>Q_{1} .</math><br />
Donc l'application
:<math>X_{Q}(P_{1}) \to X_{Q}(P_{2}) : Q_{1} \mapsto g \ Q_{1} \ g^{-1}</math>
et l'application
:<math>X_{Q}(P_{2}) \to X_{Q}(P_{1}) : Q_{2} \mapsto g^{-1} \ Q_{2} \ g</math>
sont réciproques l'une de l'autre, donc
:<math>\vert X_{Q}(P_{1}) \vert = \vert X_{Q}(P_{1}) \vert .</math>
Il existe donc un nombre naturel <math>conj_{p}(Q)</math> tel que pour chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow P de G,
:<math>\vert X_{Q}(P) \vert = conj(p,Q) .</math>
Par définition de <math>X_{Q}(P)</math>, cela signifie qu'il existe un nombre naturel <math>conj_{p}(Q)</math> tel que chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement <math>conj_{p}(Q)</math> G-conjugués de Q. Puisque l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G est non vide, <math>conj_{p}(Q)</math> est évidemment unique.
}}
h) Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un nombre premier, soit Q un <math>p</math>-sous-groupe de G, soient <math>P_{1}, \cdots , P_{r} </math> les différents <math>p</math>-sous-groupe Sylow de G contenant Q.<br />
Pour chaque <math>i</math> dans <math>\{1, \ldots , r \},</math> on désigne par <math>X_{Q}(P_{i})</math> l'ensemble des G-conjugués de Q contenus dans <math>P_{i} .</math><br />
Prouver que
:1° l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q est contenu dans <math>\bigcup_{i = 1}^{r} X_{Q} (P_{i})</math>;
:2° si Q est normal dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q,
:l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q est égal à <math>\bigcup_{i = 1}^{r} X_{Q} (P_{i}) .</math>
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
Soit R un G-conjugué de Q normalisé par Q.<br />
Puisque R est un G-conjugué de Q et que Q est un <math>p</math>-sous-groupe de G, Q et R sont tous deux des <math>p-</math>sous-groupes de G, Donc, puisque Q normalise R, Q et R sont contenus dans un même <math>p-</math>sous-groupe de Sylow de G (voir les [[../Théorèmes de Sylow/|exercices sur le chapitre Théorèmes de Sylow]]), donc R est contenu dans un des <math>P_{i}.</math> Donc, puisque R est un G-conjugué de Q, R appartient à un des <math>X_{Q}(P_{i}).</math> Nous avons donc prouvé que
:(1)<math>\qquad</math>l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q est contenu dans <math>\bigcup_{i = 1}^{r} X_{Q} (P_{i})</math>,
ce qui est l'assertion 1° de l'énoncé.<br />
Faisons maintenant l'hypothèse supplémentaire que
:(hyp. 2)<math>\qquad</math>Q est normal dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q,
Du fait que les p-sous-groupes de Sylow de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes de G et de l'hypothèse (2), on tire facilement que
:(3)<math>\qquad</math>tout G-conjugué R de Q est normal dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant R
(imiter la façon dont on a prouvé l'existence de <math>m_{Q}</math> à la question g) ).<br />
Soit T un élément de <math>X_{Q}(P_{i})</math>; donc T est un G-conjugué de Q contenu dans <math>P_{i}.</math> D'après (3), T est normal dans <math>P_{i}</math>; donc, puisque Q est contenu dans <math>P_{i},</math> T est normalisé par Q. Donc T est un G-conjugué de Q normalisé par Q. Cela prouve que
:<math>\bigcup_{i = 1}^{r} X_{Q} (P_{i})</math> est contenu dans l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q.
Joint à (1), cela prouve l'assertion 2° de l'énoncé.
}}
i) Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert</math>, soit <math>p^{n}</math> la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert G \vert </math>, soit Q un sous-groupe d'ordre <math>p^{n-1}</math> de G.<br />
On désigne par <math>syl_{p,Q}(G)</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes Sylow de G contenant Q et par conj(Q) le nombre des G-conjugués de Q.<br />
Comme à la question g), on désigne par <math>conj_{p}(Q)</math> l'unique nombre naturel tel que chaque p-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement <math>conj_{p}(Q)</math> G-conjugués de Q.<br />
Déduire de la question h) que
:1°<math>\qquad</math>les G-conjugués de Q normalisés par Q sont en nombre <math>1 + syl_{p,Q}(G) \cdot (conj_{p}(Q) - 1)</math>;
:2°<math>\qquad 1 + syl_{p,Q}(G) \cdot (conj_{p}(Q) - 1) \leq conj(Q) .</math>
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
Pour alléger les notations, on va écrire <math>r</math> pour <math>syl_{p,Q}(G) .</math><br />
Comme à la question h), notons <math>P_{1}, \cdots , P_{r} </math> les différents <math>p</math>-sous-groupe Sylow de G contenant Q et, pour chaque <math>i</math> dans <math>\{1, \ldots , r \},</math> notons <math>X_{Q}(P_{i})</math> l'ensemble des G-conjugués de Q contenus dans <math>P_{i} .</math><br />
Par définition de <math>conj_{p}(Q)</math>, nous avons
:(1)<math>\qquad \vert X_{Q}(P_{1}) \vert = \cdots = \vert X_{Q}(P_{r}) \vert = conj_{p}(Q) .</math>
D'autre part, puisque les <math>P_{i}</math> contiennent tous Q et que Q est un G-conjugué de Q,
:(2)<math>\qquad X_{Q}(P_{1}), \ldots , X_{Q}(P_{r})</math> comprennent tous Q.
Soient <math>i, j</math> deux différents indices dans <math>\{1, \ldots, r \} .</math> Si <math>X(P_{i})</math> et <math>X(P_{j})</math> avaient en commun un élément R distinct de Q, Q et R seraient tous deux contenus dans <math>P_{i}</math> et tous deux contenus dans <math>P_{j} .</math> Puisque <math>P_{i}</math> et <math>P_{j}</math> sont d'ordre <math>p^{n}</math> et que Q et R seraient deux différents sous-groupes d'ordre <math>p^{n-1}</math> de G, on aurait donc
:<math>P_{i} = \langle Q, R \rangle</math> et <math>P_{j} = \langle Q, R \rangle</math>,
d'où <math>P_{i} = P_{j}</math>, contradiction.<br />
Donc les <math>r</math> ensembles <math>X(P_{i}) \setminus \{Q \}</math> (où <math>i</math> parcourt <math>\{ 1, \ldots, r \}</math>) sont deux à deux disjoints, donc, d'après (1) et (2),
:(3)<math>\qquad \vert X(P_{1}) \cup \cdots \cup X(P_{r}) \vert = 1 + r \cdot (conj_{p}(Q) - 1)</math>,
D'après les hypothèses de l'énoncé, Q est d'indice premier dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, donc, d'après la formule des indices, Q est sous-groupe maximal de chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow P de G contenant Q. Puisqu'un tel P est un <math>p</math>-groupe et est donc nilpotent, il résulte donc du chapitre [[../../Groupes nilpotents/]] que Q est normal dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q. Donc, d'après la question h), le membre gauche de (3) est égal au nombre des G-conjugués de Q normalisés par Q, donc
:(4)<math>\qquad </math>les G-conjugués de Q normalisé par Q sont en nombre <math>1 + r \cdot (conj_{p}(Q) - 1) = 1 + syl_{p,Q}(G) \cdot (conj_{p}(Q) - 1)</math>,
ce qui démontre le point 1° de l'énoncé.<br />
Puisque l'ensemble des G-conjugués de Q normalisé par Q est une partie de l'ensemble des G-conjugués de Q, nous avons donc
:<math>1 + syl_{p,Q}(G) \cdot (conj_{p}(Q) - 1) \leq conj(Q)</math>,
ce qui démontre le point 2° de l'énoncé.
}}
j) Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un nombre premier. On note <math>syl_{p}(G)</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G. Pour tout <math>p</math>-sous-groupe T de G, on note <math>syl_{p, T}(G)</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant T.<br />
Comme à la question g), on note <math>conj_{p}(T)</math> le nombre naturel tel que chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement <math>conj_{p}(T)</math> G-conjugués de T.<br />
Soit Q un <math>p</math>-sous-groupe de G. On note conj(Q) le nombre des G-conjugués de Q.<br />
Prouver que
:<math>conj(Q) \cdot syl_{p, Q}(G) = conj_{p}(Q) \cdot syl_{p}(G) .</math>
Indication : on peut évaluer de deux façons le nombre des couples (R, P), où R est un G-conjugué de Q, où P est un p-sous-groupe de Sylow de G et où R est contenu dans P.
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
Notons <math>Syl_{p}(G)</math> l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G.<br />
Notons C l'ensemble des couples (R, P), où R est un G-conjugué de Q, où P est un p-sous-groupe de Sylow de G et où R est contenu dans P.<br />
Une première évaluation de <math>\vert C \vert </math> est
:(1)<math>\qquad \vert C \vert = \sum_{R \in Conj(Q)} syl_{p, R}(G)</math>,
où Conj(Q) désigne l'ensemble des G-conjugués de Q.<br />
Du fait que les p-sous-groupes de Sylow de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes de G, on tire facilement que si R est un G-conjugué de Q,
:le nombre <math>syl_{p, R}(G)</math> des p-sous-groupes de Sylow de G contenant R est égal au nombre <math>syl_{p, Q}(G)</math> des p-sous-groupes de Sylow de G contenant Q
(imiter la façon dont on a prouvé l'existence de <math>conj_{p}(Q)</math> à la question g) ).<br />
Donc le résultat (1) peut s'écrire
:(2)<math>\qquad \vert C \vert = conj(Q) \cdot syl_{p, Q}(G) .</math>
Une seconde évaluation de <math>\vert C \vert </math> est
:(3)<math>\qquad \vert C \vert = \sum_{P \in Syl_{p}(G)} conj_{P}(Q)</math>,
où <math>conj_{P}(Q)</math> désigne le nombre des G-conjugués de Q contenus dans P.<br />
Mais il résulte de la question g) que, pour chaque p-sous-groupes de Sylow P de G, le nombre des G-conjugués de Q contenus dans P est égal à <math>conj_{p}(Q)</math>, donc (3) peut s'écrire
:<math>\qquad \vert C \vert = conj_{p}(Q) \cdot syl_{p}(G) .</math>
La comparaison de ce résultat avec (2) démontre l'énoncé.
}}
k) Comme aux questions d) et f), on suppose que G est un groupe simple d'ordre 720 et Q un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G. D'après la question g), il existe un et un seul nombre naturel <math>conj_{3}(Q)</math> tel que chaque 3-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement <math>conj_{3}(Q)</math> G-conjugués de Q.<br />
À l'aide notamment des questions i) et j), prouver que
:1°<math>\qquad conj_{3}(Q) = 1</math>;
:2°<math>\qquad </math>le seul G-conjugué de Q normalisé par Q est Q.
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
D'après la question j),
:(1)<math>\qquad conj(Q) \cdot syl_{3, Q}(G) = conj_{3}(Q) \cdot syl_{3}(G)</math>
où conj(Q) désigne le nombre des G-conjugués de Q,<br />
où <math>syl_{3}(G)</math> désigne le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de G<br />
et où <math>syl_{3, Q}(G)</math> désigne le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de G contenant Q.<br />
On a vu à la question f) que <math>\vert N_{G}(Q) \vert = 72</math>, donc
:(2)<math>\qquad conj(Q) = 10 .</math>
D'après la question d), point (iii),
:(3)<math>\qquad syl_{3, Q}(G) = 4 .</math>
En portant (2) et (3) dans (1), on obtient
:(4)<math>\qquad 40 = conj_{3}(Q) \cdot syl_{3}(G) .</math>
D'après la question i), point 2°, où on fait <math>p = 3</math>, nous avons
:<math>\qquad 1 + syl_{3,Q}(G) \cdot (conj_{3}(Q) - 1) \leq conj(Q) </math>,
ce qui, d'après (2) et (3), peut s'écrire
:<math>\qquad 1 + 4 (conj_{3}(Q) - 1) \leq 10</math>,
d'où
:(5)<math>qquad conj_{3}(Q) \leq 3 .</math>
D'après la question b), <math>syl_{3}(G)</math> est égal à 10 ou à 40; s'il est égal à 10, alors, d'après (4), <math>conj_{3}(Q) = 4</math>, ce qui contredit (5). Donc <math>syl_{3}(G) = 40</math>, donc, d'après (4),
:(6)<math>\qquad conj_{3}(Q) = 1</math>,
ce qui démontre le point 1° de l'énoncé.<br />
En portant (6) dans la question i), point 1° (où on fait <math>p = 3</math>), on trouve qu'il n'y a qu'un G-conjugué de Q normalisé par Q. Puisque Q est un G-conjugué de Q normalisé par Q, cela revient à dire que le seul G-conjugué de Q normalisé par Q est Q, ce qui démontre le point 2° de l'énoncé.
}}
 
La suite pour bientôt.
 
== Notes et références ==
<references/>
 
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