« Théorie des groupes/Exercices/Premiers résultats sur les groupes simples » : différence entre les versions
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m →Groupes simples d'ordre < 168 : Peu importe qu'il y ait un peu de double emploi. |
m →Groupes simples d'ordre < 168 : remarque sur l'exposé de M. Reeder. |
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On va prouver dans cette section que tout groupe simple non commutatif d'ordre < 168 est d'ordre 60 (et est donc isomorphe à A<sub>5</sub> d’après un problème ci-dessus). La tâche nous serait évidemment facilitée si nous disposions du théorème de Feit et Thompson (tout groupe simple fini d'ordre non premier est d'ordre pair) et du théorème p-q de Burnside selon lequel tout groupe fini d'ordre p<sup>a</sup>q<sup>b</sup>, p et q étant des nombres premiers, est résoluble. (Nous démontrerons le théorème p-q de Burnside dans la suite du cours, à l'aide de la théorie des caractères. La démonstration du théorème de Feit et Thompson dépasse le cadre d'une introduction à la théorie des groupes.)<br />
Le lecteur intéressé par cette sorte de résultats peut se reporter à un exposé de Mark Reeder<ref>Mark Reeder, ''Notes on Group Theory'', 20 août 2019, p. 80 et ss., [http://pdvpmtasgaon.edu.in/uploads/dptmaths/AnotesofGroupTheoryByMarkReeder.pdf en ligne]. Attention : la façon dont la non-simplicité des groupes d'ordre 720 est démontrée dans l'exposé de M. Reeder a soulevé des critiques [https://math.stackexchange.com/questions/3873430/no-simple-group-of-order-720-again sur le site StackExchange].</ref> qui, sans beaucoup plus de frais qu'ici, détermine tous les ordres possibles (mais non toutes les structures possibles) des groupes simples non abéliens d'ordre au plus égal à 720.<br />
Dans ce qui suit, il y a un peu de double emploi avec le problème « Résolubilité des groupes d'ordre < 60 ». On n'a pas cru devoir l'éviter.
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