« Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues » : différence entre les versions

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m →‎Exercice 3-3 : -blabla
→‎Exercice 3-3 : simplif
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##Montrer qu'on a de même <math>\frac{\overline{CA'}}{\overline{CB}}\frac{\overline{C'B}}{\overline{C'A}}\frac{\overline{KA}}{\overline{KA'}}=+1</math>.
##En déduire <math>(3)</math>.
#OnRéciproquement, on suppose <math>(3)</math>.
##On suppose <math>(AA')</math> et <math>(BB')</math> parallèles.concourantes en un Soitpoint <math>K'</math> et l'on désigne par <math>C''\in(AB)</math> telle quepoint de concours de <math>(CC'CK')</\!/math> et <math>(AA'AB)</math>. En appliquant la question 12, montrer que <math>\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C''A}}{\overline{C''B}}=-1</math> et en déduire que <math>\frac{\overline{C''A}}{\overline{C''B}}=\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}}</math>. En déduire que <math>C''=C'</math> et finalement <math>(1)</math>.
##OnEn supposedéduire que si <math>(AA')</math> et <math>(BB')</math> concourantessont en un point <math>K'</math> et l'on désigne par <math>C''</math> le point de concours de <math>(CK')</math> et <math>(AB)</math>. En appliquant la question 2, montrer de même que <math>C''=C'</math> etparallèles finalementalors <math>(2)</math>.
{{Solution|contenu=
#En appliquant le théorème de Thalès à la droite <math>(AA')</math> parallèle au côté <math>(B'B)</math> du triangle <math>(B'CB)</math>, on trouve <math>\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BA'}}</math>. De même en intervertissant les lettres <math>B</math> et <math>C</math>, on trouve <math>\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}}=\frac{\overline{CA'}}{\overline{CB}}</math>. Par conséquent, <math>\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}}=\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{BC}}{\overline{BA'}}\frac{\overline{CA'}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{A'B}}{\overline{BA'}}\frac{\overline{BC}}{\overline{CB}}\frac{\overline{CA'}}{\overline{A'C}}=(-1)^3=-1</math>.
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##On en déduit : <math>\frac{\overline{BA'}}{\overline{BC}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}=\frac{\overline{CA'}}{\overline{CB}}\frac{\overline{C'B}}{\overline{C'A}}</math>, soit <math>\frac{\overline{BA'}}{\overline{CA'}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}}=-1</math>, ce qui équivaut à <math>(3)</math>.
#
##D'après les hypothèses et la question 12, <math>\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C''A}}{\overline{C''B}}=-1=\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}}</math> donc <math>\frac{\overline{C''A}}{\overline{C''B}}=\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}}</math>. Ceci prouve que <math>C''=C'</math> donc (par définition de <math>C''</math>) <math>(12)</math>.
##D'après la sous-question précédente, si deux des trois droites <math>(AA')</math>, <math>(BB')</math> et <math>(CC')</math> sont sécantes alors les trois droites sont concourantes. Par conséquent, si deux des trois droites sont parallèles alors les trois le sont.
##Idem en remplaçant « question 1 » par « question 2 » et conclusion <math>(1)</math> par conclusion <math>(2)</math>.
}}