« Théorie des groupes/Transfert, théorème du complément normal de Burnside » : différence entre les versions

Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow ''abélien'' de G. On suppose que les ordres de Aut(P) et de G sont premiers entre eux ou n'ont que ''p'' comme diviseur premier commun (ce qui revient à dire que le PGCD de <math>\vert Aut(P) \vert</math> et de <math>\vert G \vert </math> est une puissance de ''p''). Alors <math>\ N_{G}(P) admet un complément normal dans= C_{G }(autrementP)</math> dit,et G est p-nilpotent).

Soient G un groupe fini > 1 et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de G. Si un p-sous-groupe de Sylow P de G est cyclique, alors <math>\ N_{G}(P) = C_{G}(P)</math> et G est p-nilpotent.

Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G, soit <math>\ p^{m}</math> l’ordre de ''p''P. Par hypothèse, P est cyclique, donc Aut(P) est d'ordre <math>\ p^{m-1}(p-1)</math> (voir chapitre [[../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]] ). Puisque ''p'' est le plus petit facteur premier de <nowiki>|G|</nowiki>, il en résulte que <nowiki>|Aut(P)|</nowiki> et <nowiki>|G|</nowiki>sont premiers entre eux ou ont ''p'' pour seul facteur premier commun. Le « cas particulier » qui précède montre donc que <math>\ N_{G}(P) a= unC_{G}(P)</math> complémentet normal dansque G est p-nilpotent.