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« Théorie des groupes/Transfert, théorème du complément normal de Burnside » : différence entre les versions

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→‎Théorème du complément normal de Burnside : Le point 5 était correct mais je l'ai remplacé par quelque chose de plus facile à démontrer
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Soient G un groupe fini et, ''p'' un nombre premier et p<sup>m</sup> la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>\vert G \vert </math>. Puisque, comme nous l'avons vu, un sous-groupe de Hall normal de G est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G et que, plus précisément, un sous-groupe de Hall normal H de G est l'ensemble des éléments de G dont l'ordre divise <math>\vert H \vert</math>, on vérifie facilement que les cinq conditions suivantes sont équivalentes :
# il existe un p-sous-groupe de Sylow de G qui admet un complément normal dans G;
# tout p-sous-groupe de Sylow de G admet un complément normal dans G;
# il existe un sous-groupe normal de G dont l'ordre est <math>\vert G \vert / p^{m}, </math>;
# oùG p<sup>m</sup>a désigneun laet plusun grandeseul puissancesous-groupe de ''p'd' qui diviseordre <math>\vert G \vert / p^{m}</math>;
# les éléments de G adont unl'ordre n'est pas divisible etpar ''p'' forment un seul sous-groupe d'ordre <math>\vert G \vert / p^{m},</math> où p<sup>m</sup> désigne la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>\vert G \vert </math>;.
# les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par ''p'' forment un sous-groupe de G.
 
{{Définition
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Démonstration. Supposons que, par absurde, G soit p-nilpotent. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. Notre hypothèse selon laquelle G est p-nilpotent revient à dire que P admet un complément normal N dans G. Puisque G est un groupe simple fini non commutatif, on sait qu’il n’est pas résoluble, donc son ordre n’est pas une puissance de nombre premier, donc 1 < P < G, donc 1 < N < G. C'est impossible, puisque N est normal dans G et que G est supposé simple.<br />
 
En fait, un énoncé démontré plus haut permet de se passer ici du théorème du complément normal de Burnside. On a vu que si <math>G</math> est un groupe simple fini d'ordre composé, si <math>Q</math> est un sous-groupe de Sylow abélien de <math>G</math>, alors <math>Q \cap Z(N_{G}(Q)) = 1 .</math> Si <math>G</math> était p-nilpotent, un p-sous-groupe de Sylow P de <math>G</math> serait forcément abélien, donc, d'après ce qu'on vient de rappeler, on aurait <math>P \cap Z(N_{G}(P)) = 1</math>, donc <math>P</math> ne serait pas contenu dans <math>Z(N_{G}(P))</math>, c'est-à-dire que G ne serait pas p-nilpotent, contradiction.<br />
Si on étudie un groupe '''simple''' fini non abélien G et qu'on a affaire à un sous-groupe de Sylow abélien P de G, le théorème <math>P \cap Z(N_{G}(P)) = 1</math> fournit un renseignement plus précis sur la structure de <math>N_{G}(P)</math> que le théorème du complément normal de Burnside.
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