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== Genèse de l'étude ==
La première lecture (vers 1997) qui m'a fait m'intéresser à ce problème est celle du célèbre ouvrage de vulgarisation de Simon Singh, ''Le dernier théorème de Fermat,'' lecture qui m'avait été suggérée par une amie étudiante en mathématiques. J'ai commencé à sentir que je tenais quelque chose<ref>« Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner. » (Récoltes et semailles, p 51).</ref>. Baudelaire dit dans [[s:Mademoiselle_Bistouri|un de ses petits poèmes en prose]] : ''« J’aime passionnément le mystère parce que j’ai toujours l’espoir de le débrouiller. »'' J'ai moi aussi cette passion poussée à un haut degré. Souvent on considère un mystère comme insoluble, par la raison même qui devrait le faire regarder comme facile à résoudre. En faisant simplement preuve de bon sens, dans une perception fine des choses, une approche objective dénuée de tout préjugé, alors à mesure qu’on progresse dans la recherche, nos découvertes nous apportent un lot de satisfactions inestimable, c'est un merveilleux cadeau que l'on se fait à soi-même. Vers 1646 Roberval, évoquant Fermat, écrivait à Torricelli, : ''« Cet homme remarquable, le premier d’entre nous, m’envoya deux propositions très subtiles, sans les accompagner de leurs démonstrations. Et alors que je lui demandais les démonstrations de ces propositions ardues, il me répondit, par lettre, en ces termes :'' <span style="color:blue">''« J'ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir.'' »</span> Qui a ''l'esprit de discernement'' sait faire preuve de '''simplicité''', de confiance, d'humilité, '''d'imagination créatrice,''' d'audace et '''d'analyse rigoureuse''', toutes aptitudes nécessaires à résoudre une énigme. Je crois que la résolution des énigmes les plus importantes, soit que la notion d’infini représente une pièce essentielle du mystère, soit qu'elle y soit absente, est toujours possible. Mais dans ce cas-ci j'avais beau chercher, presque toujours avec le même enthousiasme, je ne trouvais d'abord que quelques indices de-ci de-là. Il est vrai qu'en les assemblant ils me confortaient beaucoup dans mon intuition initiale, et même s'ils n'aboutissaient à rien de concret, ils constituaient déjà, après à un survol objectif du contexte général plusieurs fois réitéré (où j'incluais les mots de Fermat mais aussi ceux de tous ses détracteurs), un bon début d'analyse. Il me fallut attendre une douzaine d'années avant de recevoir un message privé ''via'' Wikipédia, d'un mathématicien amateur (Roland Franquart) qui allait complètement débloquer la situation. Nous nous sommes téléphoné et je crois que nous avons conversé plus d'une heure. Par la suite nous avons beaucoup échangé et travaillé sur un blog dédié où une doctorante était intervenue. Puis j'ai continué à tenter de rendre l'article de Wikipédia sur le théorème un peu plus fiable sans parvenir à grand-chose, une très vive opposition, même pour les plus simples détails, m'en empêchant. Les professeurs de math que j’ai rencontrés sur divers forums ont la manie d’appeler banales, ou triviales, toutes choses situées au-delà de leur compréhension, et vivent ainsi au milieu d’une immense légion de banalités. Heureusement quand je retournai en 2013 sur Wikipédia après une longue absence je fus tout de suite encouragé par [[w:Catherine_Goldstein|Catherine Goldstein]]. Elle m'avait soufflé qu'elle considérait les deux « articles » (des fiches plutôt) ''Dernier théorème de Fermat'' et ''Pierre de Fermat'' comme indigents, et elle-même ne s'aventure plus sur ces terrains minés. Je serai plus méchant, le premier est un
Vers 2006 après avoir consulté la fiche Wikipédia concernant ce théorème j'avais tout de suite vu que de tous les arguments avancés par les contempteurs de Fermat, consciencieusement repris par les wikipédiens, absolument aucun ne tenait la route. Pourtant tous y étaient réunis et surinterprétés, la toute petite partie de l'article concernant la possibilité d'une preuve par Fermat lui-même avait été rédigée à partir de tous ces arguments très orientés et parfois péremptoires, ''sans jamais prendre en compte un seul argument'' des chercheurs avançant l'idée que Fermat, immense génie de la valeur de Pascal sans doute, mathématicien, grand pédagogue et juge à la fois, avait peut-être détenu la preuve qu'il affirmait avoir mise au jour. On interdit sur Wikipedia que figure dans l'article le nom de la chercheuse et mathématicienne la plus experte (Catherine Goldstein), universellement reconnue, de Pierre de Fermat et de ses travaux.
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* On sait d'une part qu'il disposait de très peu de temps pour assouvir sa passion des nombres. Ce n'est qu'en gardant par devers lui la grande majorité de ses inventions au fur et à mesure qu'il les faisait, qu'il pouvait préserver sa tranquillité et exploiter tout son potentiel créatif. S'il avait commencé à rédiger des démonstrations complètes de ses inventions, la compréhension en ayant été ardue, des esprits tatillons lui auraient fait perdre son temps avec d'incessants chipotages. La formulation de ses défis, qui souvent ne comportaient que quelques lignes et pouvaient paraître inconvenants de la part d'un notable, témoignait aussi de ce cruel manque de temps.
Alors qu'il a affirmé dans sa correspondance posséder la preuve du cas particulier n=4 de son grand théorème, il ne nous dit pas, dans le
Sûrement avait-il aussi une revanche à prendre sur la communauté des mathématiciens (« Ah ! ils n'ont pas voulu me prendre au sérieux ? C'est bien dommage pour eux !, ce n'est plus à ces esprits entêtés que je pense dorénavant. »). S'est-il dit aussi : « Nous allons bien nous amuser. » ? Certains de ses correspondants en effet, à qui il avait soumis des problèmes qu'ils avaient été incapables de résoudre, avaient méprisé ses travaux, les jugeant totalement inutiles (ils se révélèrent d'une importance considérable). Il dut être contrit et vexé, certainement il voulut les punir de leur négligence. La nature de son caractère dut y être pour quelque chose, on le savait très humble, mais il était parfaitement conscient de sa force, et la fausse humilité était étrangère à ce Gascon. Une démonstration complète d'un cas particulier (''n=3)'' de son grand théorème ne sera trouvée que... deux siècles plus tard par [[w:
* D'autre part, certains de ses écrits les plus importants sont rédigés en latin, la langue de l'ellipse par excellence. Fermat étant un expert en latin, il a fallu débusquer le plus possible de ses non-dits – écrits, mais subtilement cachés – auxquels l'obligeaient : a) le souci de discrétion dans une époque troublée (alors qu'il est magistrat) ; b) le manque de temps ; c) le principe même du défi, qui s'accordait avec les deux points précédents ; enfin, c) son goût pour la pédagogie (qui s'accorde à son tour avec les points précédents).
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À un pur mathématicien qui n’est que mathématicien, les plus grandes évidences toujours échapperont. J’ai lu très peu de mathématiciens en qui, en dehors de leurs mathématiques, on pouvait accorder toute confiance. Seul peut raisonner clairement le mathématicien qui a gardé son esprit d’enfance, ce doit être un poète, qui jamais ne bride pas son imagination créatrice. Citons Etienne KLEIN à propos d'Einstein : ''« C'est peut-être ce que j'admire le plus chez lui. Cette capacité qu'il avait à se poser des questions toutes simples, des questions d'enfant, et à leur trouver des réponses élaborées avec toute la rigueur d'un cerveau d'adulte. »'' Souvenons-nous que Fermat a écrit de la poésie (en plusieurs langues). De même Giordano Bruno. Pensons à l’inoubliable logicien qu’était Lewis Caroll, auteur de ''‘’Alice au pays des merveilles’’'' et de ''‘’ De l'autre côté du miroir’’''. Pensons à Jacques ROUBAUD, écrivain et mathématicien, membre de l'Oulipo, joueur de go fort spirituel et poète, bien connu des mathématiciens, qui concilie opportunément ''« l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse »''. Puis remarquons que [[w:Catherine_Goldstein|Catherine Goldstein]], chercheuse en mathématiques et historienne (qui a toujours dit contrairement à une ribambelle de sachants que l’existence d’une preuve du Théorème de Fermat par Fermat lui-même n’avait rien d’improbable), avait pour père un poète, [[w:Isidore_Isou|Isidore Isou]] (1925-2007), qui fut aussi peintre, romancier, dramaturge, économiste,… N'oublions pas non plus les écrits littéraires d'Alexandre GROTHENDIECK (voir ''infra'').
Selon le mathématicien [[w:Jacques_Hadamard|Jacques Hadamard]] la rêverie, l’imagination, joue un grand rôle dans l’invention mathématique, c’est souvent en ''imaginant'' un chemin nouveau que les plus grands chercheurs ont «''vu»'' une solution jusqu'alors inaccessible. Le mot “théorème” vient d’ailleurs du grec ancien θεώρημα (''theốrêma'' en latin) : une proposition objet de contemplation, de méditation.
Selon [[w:Gaston_Bachelard|Bachelard]] l’imagination confère surtout le pouvoir de nous libérer des images premières fournies par la perception en les déformant, en les changeant : ''« Le vocable fondamental qui correspond à l’imagination, ce n’est pas image, c’est imaginaire. »'' (''L’air et les songes.'' Paris, José Corti, p. 7).
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Dans son livre ''[https://www.puv-editions.fr/collections/histoires-de-science/theoreme-de-fermat-et-ses-lecteurs-un--9782910381103-15-178.html Un théorème de Fermat et ses lecteurs],'' Catherine Goldstein étudie particulièrement l’''Observation'' XLV de Fermat (sa formulation, ses lectures, etc.), qui est rappelons-le la seule preuve complète d'un théorème ([[w:Théorème_de_Fermat_sur_les triangles rectangles|Théorème de Fermat sur les triangles rectangles]]) figurant dans ses observations. Cette preuve montre l’impossibilité, ''comme en passant'', du cas '''''n=4'''''. Au cours du temps les mathématiciens ont fait différentes lectures de ce théorème. C.G. y fait sa propre lecture qui a l’avantage de répondre « à toutes objections soulevées jusqu’à présent ». À la page 148, note 4, elle note que « des lettres importantes pour les recherches sur les nombres ne figurent pas dans les <span style="color:blue">''VARIA OPERA MATHEMATICA''</span><ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Pierre de|nom1=Fermat|lien auteur1=|titre=Varia Opera mathematica|sous-titre=|lien titre=|volume=|tome=|passage=|lieu=Toulouse|éditeur=Apud Joannem Pech|lien éditeur=|année=1679|numéro d'édition=|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://documents.univ-toulouse.fr/150NDG/PPN075570637.pdf|consulté le=}}</ref> (publiées par son fils en 1679) comme la lettre de Carcavi de 1659 » (où figure la conjecture sur les ''nombres de Fermat''). C'est la formulation d'un passage de cette lettre qui a fait dire à de nombreux commentateurs que Fermat avait dû se tromper. Concernant cette fausse conjecture avec ses diverses formulations ce sont au total 5 lettres qui sont absentes des ''Varia opera'' (Œuvres mathématiques diverses, un recueil de mémoires et de correspondances de Fermat). Une seule de ces lettres en rapport direct y était mentionnée. Voici les lettres absentes :
1) à Frénicle de Bessy en ''août'' (?) 1640, où figurent ces mots, dont <u>le contexte dans lequel Fermat les écrit n’a jamais été étudié (voir infra) par les commentateurs de Fermat</u> : « ''[...] mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles [...] »'' Fermat cherche à stimuler
2) à Mersenne, Noël 1640, : « ''Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j’ai déjà trouvé des choses merveilleuses <span style="color:blue">'''dont je vous ferai part, <u>après que</u> j’aurai eu votre réponse <u>et celle de M. Frenicle.</u>'''</span> ''» On peut penser que c'est moins de son ami le père Mersenne que de Frenicle (avec lequel Fermat aurait souhaité ''ferrailler'' – dans la plus grande courtoisie) que Fermat donne l'impression qu'il pourrait attendre une réponse (somme toute ardue pour l'époque). L'appât tendu par Fermat était alléchant, mais d'après ce que l'on sait Frenicle n'a pas répondu et Fermat <span style="color:blue">'''''n'aura pas à faire part des choses merveilleuses qu'il a déjà trouvées.''' ''</span>Que
3) à Pascal, le 29 août 1654 : ''« et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j’en étais venu à bout. Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j’ai fait des découvertes considérables. <span style="color:blue">Nous en parlerons une autre fois</span>. »'' Un nouvel appât tendu, plus discret cette fois, au grand Pascal, dont Fermat sait certainement que son ami est bien éloigné de ces considérations. Ces affirmations répétées à propos de sa prétendue certitude sur les nombres de la forme 2<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1 feront le régal, dans leur ignorance, de ses détracteurs''.''
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<span style="color:blue">''Cette dernière <u>question</u> est d’une très subtile et très ingénieuse recherche''</span> ''et, bien qu'elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il ne peut être divisé par aucun nombre. »'' [[Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible#Lettre de Fermat à Pierre de Carcavi en août 1659|(Voir la lettre complète)]]</blockquote>
Cette formulation à l'attention de Huygens, qui a prêté à confusion, deviendra après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les “nombres de Fermat”. Huygens était un jeune scientifique et mathématicien de 30 ans, le seul qui aurait pu encore le suivre, mais il ne donna pas suite. La formulation de ce dernier ballon d'essai était pourtant très excitante :
* Dans ces lettres il demande du secours (!) à ses six principaux correspondants. L'un après l'autre il les teste, les stimule, les encourage à le suivre dans ses travaux (quelle motivation pour eux, venir à l'aide du grand Fermat). Mais aucun ne répondra, à part
* Cette fois Fermat a ‘’considéré” certaines ‘’questions”. Il n'emploie plus, comme il l'a souvent fait, l'expression «''propositions'' négatives». La nouvelle formulation ''question(s) négative(s)'' n'est pas très correcte, une question, formellement, est toujours une interrogation. La formulation de tout le paragraphe et à la fin l'allusion aux nombres premiers qui ne peuvent être divisés par aucun autre nombre lui permet d'introduire le terme «''négative''». Fermat, ce philologue, l'utilise dans une lettre testament. Insinue-t-il qu'à la question la réponse est négative ?
* Cette proposition peut être formulée d'une manière légèrement différente en en conservant <u>rigoureusement</u> le sens : ''<span style="color:blue">« La question de savoir si cette dernière proposition est vraie ou fausse est d'une très subtile et très ingénieuse recherche [...] »</span>''
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Ses détracteurs en déformant son propos douteront sans cesse de ses compétences et feront de cette lettre un argument pour prétendre qu'il avait présenté son plus grand théorème comme vrai sans en avoir jamais trouvé la preuve, même (et surtout) avec ses propres outils. La plupârt auront aussi recours à des arguments bancals, paralogismes et sophismes. Ses partisans se réjouiront en découvrant les subtilités de cette lettre testament, qui si elles ne sont pas aussi déterminantes que le cryptage de sa plus célèbre ''observation'' (voir ''infra'') sont elles aussi sublimes.
Quand Samuel publie les ''Varia opera'' <span style="color:blue">après la mort de son père</span> (comme il l'a fait pour les ''Observations'', mais cette fois-ci 9 ans plus tard), il n'y insère qu'une lettre évoquant cette fausse conjecture, celle adressée à Monsieur de ****. On est quasiment assuré qu’il s’agit encore de
6) 18 octobre 1640 : « Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer l’exclusion de tous diviseurs en cette belle proposition que je vous avais envoyée et que vous m’avez confirmée, touchant les nombres 3, 5, 17, 257, 65537, etc. Car, bien que je réduise l’exclusion à la plupart des nombres et que j’aie même des raisons probables pour le reste, je n’ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de <span style="color:blue">cette proposition</span>, de laquelle pourtant je ne doute non plus à cette heure que je le faisais auparavant. Si vous en avez la preuve assurée, vous m’obligerez de me la communiquer ; '''car, après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières.''' » <span style="color:blue">(!)</span> S'il ne parle plus de ‘’''démonstrations infaillibles''‘’, il n'y va pas de main morte. Deux mois seulement après sa première lettre à
Samuel de Fermat a donc omis, en particulier dans les ''Varia,'' toutes les formulations sur cette conjecture (dont celle qui a soulevé la controverse) sauf celle qui a une <span style="color:blue">formulation claire, ne prêtant pas à confusion, et dans un document officiel</span>, puisque c'est un ouvrage [https://documents.univ-toulouse.fr/150NDG/PPN075570637.pdf publié], où figurent les mots de son père : ''« [...] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, '''je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas''' [...] ».''
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Le choix de Samuel précisément pour cette lettre où son père dit être toujours honnête, à n'en pas douter veut nous faire comprendre qu'il faut prendre au sérieux l'''observation'' de Fermat sur son grand théorème. Les commentateurs ne se sont pas interrogés sur la raison de ce choix, au contraire à chaque occasion qu'ils ont pu trouver ils sont montés sur leurs ergots. On pardonnera facilement à une basse-cour trop excitée (la ponte fut en rapport) pour réfléchir sereinement. Les “optimistes” (le mot est surtout employé par les détracteurs ou par ceux qui ne se prononcent pas, je préfère pour ma part l'expression “personnes réalistes” (ou objectives, ou lucides, ou honnêtes), les personnes lucides donc, se diront que cet étroit labyrinthe, où les balises ne cessent de se laisser découvrir en s'ajoutant les unes aux autres quand on avance dans un chemin hérissé de pièges pour nous guider vers le but de la randonnée, ne peut être le fruit du hasard. Nous sommes certain quant à nous que Pierre de Fermat a informé très précisément Samuel de ce qu'il aurait à faire pour parachever le grand œuvre de son père.
À
On peut lire dans l'ouvrage [https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR8792.0002.001/214 Fermat par Tannery, p.199] qu'il avait utilisé l'argument des nombres de la forme 74k+1 :
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'''7) Lettre à Mersenne, Juin (?) 1640.''' « Au reste vous ou moi avons équivoqué de quelques caractères au nombre que j’avais cru parfait, ce que vous connaîtrez aisément, puisque je vous baillais 137 438 953 471<sup>Note 1</sup> pour son radical, lequel j’ai depuis pourtant trouvé, par l’Abbregé tiré de la 3ème proposition, être divisible par 223 ; ce que j’ai connu à la seconde division que j’ai faite, car l’exposant dudit radical étant 37, duquel le double est 74, j’ai commencé mes divisions par 149, plus grand de l’unité que le double de 74 ; puis, continuant par 223, plus grand que l’unité que le triple de 74, j’ai trouvé que ledit radical est multiple de 223.''<br>''
De ces Abbregez j’en vois déjà naître un grand nombre d’autres, ''Et mi par di vedere un gran lume''<sup>Note 2</sup>.<br>
Je vous entretiendrai un jour de mon progrès, si M.
''Note 1''. Nombre de Mersenne non premier ''M''37.<br>''Note 2''. Traduction de l'occitan : ''« Et il me semble voir une grande lumière. »''
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== Pascal : 1, Itard : 0 ==
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! scope="col" |'''[[w:Blaise_Pascal|Pascal]]''' à
! scope="col" |Itard
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| width="50%" |« Voilà, monsieur, tout l’état de ma vie présente, dont je suis obligé de vous rendre compte, pour vous assurer de l’impossibilité où je suis de recevoir l’honneur que vous daignez m’offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître, ou en vous, ou en messieurs vos enfants, auxquels je suis tout dévoué ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »
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2009. Roland FRANQUART : « Cette preuve de Fermat n’étant plus nécessaire aujourd’hui, était-elle suffisante en son temps ? »<br>
2020. Edwy PLENEL sur ''France culture'' : « Dieu sait si je suis quand même averti pour dire qu’il peut y avoir de grandes imbécillités académiques, de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes. »
* Des mathématiciens ont prétendu que ''« toutes les démonstrations auxquelles Fermat aurait pu penser à son époque échouent ».'' Comment peuvent-ils connaître tout le savoir de Fermat, génie universel, encensé par Pascal, autre génie ? Par excès de confiance en eux-mêmes ils pensent que Fermat (« le plus grand homme du monde »), qui s'était attaché, seul et '''sans influence extérieure''', dans une passion quasi métaphysique, à sonder les plus grandes profondeurs, qui a initié les plus grands progrès en théorie des nombres, était doté d'un discernement bien inférieur au leur. Dans quel aveuglement peut entraîner la connaissance et la reconnaissance académiques... Fermat a décidément fait un choix fort judicieux en restant très discret sur ses plus grandes découvertes. Pour ces mathématiciens frustrés voici un
== Conte à guérir, conte à grandir ==
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