« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2 » : différence entre les versions
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Ligne 135 :
:*<math>\forall m,n,r\in\Z\quad F_nF_{m+r}-F_rF_{m+n}=(-1)^rF_{n-r}F_m</math> ;
:*en particulier, <math>\forall m,n\in\Z\quad F_{m+n}=F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_m</math>.
==Points communs==
Quelles sont les valeurs communes aux deux suites <math>v</math> et <math>w</math> définies par :
*<math>v_0=1,\quad v_1=1\quad\text{et}\quad\forall n\in\N\quad v_{n+2}=v_{n+1}+2v_n</math> ;
*<math>w_0=1,\quad w_1=7\quad\text{et}\quad\forall n\in\N\quad w_{n+2}=2w_{n+1}+3w_n</math> ?
{Solution|contenu=Pour tous <math>p,q\in\N</math>, <math>v_p=\frac{2^{p+1}+(-1)^p}3</math> et <math>w_q=2\times3^q+(-1)^{q+1}</math> donc
<math>v_p=w_q\Leftrightarrow2^{p+1}+(-1)^p=3(2\times3^q+(-1)^{q+1})</math>. Si p\ge2, cela implique <math>(-1)^p\equiv3\bmod8</math>, ce qui est absurde. Comme <math>w</math> est strictement croissante, la seule valeur commune est donc <math>v_0=v_1=w_0=1</math>.
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