« Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions
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m Le tour du TeXnicien |
Solution Q1 |
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Ligne 8 :
<math>
\begin{array}{ccccc}
g&:&]-1
~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac12\ln(1+x)-\frac14}
\end{array}
Ligne 15 :
#Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+\infty</math>
{{boîte déroulante|titre = |contenu = ▼
▲2. Étudier les variations de <math>g\,</math>.
On pose deux fonctions ''u'' et ''v'' dérivables telles que
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~u(x)=1+x</math>
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~v(x)=\ln(x)</math>
On écrit que pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[</math>:
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =▼
<math>\begin{align}
Sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'</math> est strictement positive. Par conséquent, ''g'' est une fonction strictement croissante.}}▼
g(x)&=\frac12 v(u(t))+\frac14\\
&=\frac12 (v\circ u)(t)+\frac14 \end{align}</math>
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~u'(x)=1</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue !}}▼
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~v'(x)=\frac1x</math>
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~g'(x)=\frac12~\left ( 1 \times \frac1{1+x} \right )</math>
{{cadre simple|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}</math>}}}}
▲4. Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+\infty</math>
▲Sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'</math> est strictement positive. Par conséquent, ''g'' est une fonction strictement croissante.}}
{{boîte déroulante|titre
▲5. Tracer la courbe représentative de <math>g\,</math>.
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
▲6. Démontrer que <math>g\,</math> est solution de l'équation différentielle :
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
[[Catégorie:Fonction logarithme]]
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