« Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions

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m Le tour du TeXnicien
Solution Q1
Ligne 8 :
<math>
\begin{array}{ccccc}
g&:&]-1 ; +\infty[&\rightarrow&\R\\
~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac12\ln(1+x)-\frac14}
\end{array}
Ligne 15 :
 
 
1. #Calculer <math>g '(x)\,</math>
2. #Étudier les variations de <math>g\,</math>.
4. #Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+-1\infty,</math>.
#Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+\infty</math>
5. #Tracer la courbe représentative de <math>g\,</math>.
6. #Démontrer que <math>g\,</math> est solution de l'équation différentielle <math>(E)~:~(1+x)~y '+2y=\ln(1+x)</math>
 
{{boîte déroulante|titre = |contenu =
:<math>g'(x)= \frac12 \frac{1}{1+x} = \frac{1}{2+2x}</math>
}}
 
{{boîte déroulante|titre =Solution question 1|contenu =
2. Étudier les variations de <math>g\,</math>.
On pose deux fonctions ''u'' et ''v'' dérivables telles que
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~u(x)=1+x</math>
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~v(x)=\ln(x)</math>
 
On écrit que pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[</math>:
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
<math>\begin{align}
Sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'</math> est strictement positive. Par conséquent, ''g'' est une fonction strictement croissante.}}
g(x)&=\frac12 v(u(t))+\frac14\\
&=\frac12 (v\circ u)(t)+\frac14 \end{align}</math>
 
3.La Étudier la limitedérivée de <math>gx \,mapsto (v \circ u)(x)</math> enest <math>-1x \,mapsto u'(x)~v'(u(x))</math>.
 
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~u'(x)=1</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~v'(x)=\frac1x</math>
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~g'(x)=\frac12~\left ( 1 \times \frac1{1+x} \right )</math>
{{cadre simple|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}</math>}}}}
 
{{boîte déroulante|titre =Solution Solutionquestion 2|contenu =
4. Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+\infty</math>
Sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'</math> est strictement positive. Par conséquent, ''g'' est une fonction strictement croissante.}}
 
{{boîte déroulante|titre =Solution Solutionquestion 3|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
{{boîte déroulante|titre =Solution Solutionquestion 4|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
 
{{boîte déroulante|titre =Solution Solutionquestion 5|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
5. Tracer la courbe représentative de <math>g\,</math>.
{{boîte déroulante|titre =Solution Solutionquestion 6|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
 
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
 
6. Démontrer que <math>g\,</math> est solution de l'équation différentielle :
 
<center><math>(1+x)~y '+2y=\ln(1+x)</math></center>
 
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue !}}
 
[[Catégorie:Fonction logarithme]]