« Fonction logarithme/Exercices/Utilisation des propriétés du logarithme » : différence entre les versions
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1. Comparer les nombres suivants sans calculer de valeurs approchées.
a) <math>\ln(20)\,</math> et <math>\ln(22)\,</math> :
{{boîte déroulante|titre
*'''20<22'''
b) <math>ln(3)\,</math> et <math>1\,</math> ▼
*<math>~\ln~</math> est '''croissante'''
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}▼
c) Quel est le plus petit entier n tel que <math>3n > 6666666666\,</math>▼
{{cadre simple|contenu=<math>\ln(20)<~\ln(22)</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}▼
▲b) <math>\ln(3)\,</math> et <math>1\,</math>
*<math>1=~\ln(e)</math>
*'''3>e'''
*<math>~\ln~</math> est '''croissante'''
{{cadre simple|contenu=<math>\ln(3)>~1</math>}}}}
▲c) Quel est le plus petit entier n tel que <math>3n > 6666666666\,</math> ?
2. Comparer les expressions algébriques suivantes.
a) <math>\ln(x^2
{{boîte déroulante|titre
*<math>0=~\ln(1)</math>. On va donc chercher à '''comparer <math>x^2+x+2\,</math> à <math>1\,</math>'''
*'''Étude du signe de <math>(x^2+x+2)-(1)\,</math>''' :
**On s'intéresse à l'équation <math>x^2+x+1=0\,</math> d'inconnue ''x''.
**Cette équation du second degré a pour discriminant <math>\Delta=1-4 \times 1 \times 1= -3</math>, donc n'admet pas de racine réelle et reste du signe du coefficient de plus haut degré.
**Finalement <math>(x^2+x+2)-1>0\,</math>, c'est-à-dire <math>(x^2+x+2)>1\,</math>
*<math>\ln\,</math> est une fonction croissante
{{cadre simple|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in \R, \ln(x^2+x+2)>0</math>}}}}
b) <math>\ln(x^2 + 1)\,</math> et <math>\ln(2x)\,</math> pour <math>x \in \R^{+*}</math>:
{{boîte déroulante|titre=Piste de départ|contenu=Il faut remarquer qu'à l'intérieur des <math>\ln\,</math> qu'on nous demande de comparer, on peut retrouver une identité remarquable par regroupement.}}
{{boîte déroulante|titre
*<math>(x-1)^2 \geq 0</math>
*Donc <math>x^2-2x+1 \geq 0</math>
*Donc <math>x^2+1 \geq 2x</math>
*<math>\ln\,</math> est croissante
}}
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
==Ensemble de définition==
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