« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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→Boules : petit développement sur la notation B barre et un exemple pour la mif |
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* '''boule ouverte de centre <math>c</math> et de rayon <math>r</math>''' l’ensemble <math>B(c,r)=\{x\in E\mid d(x,c)<r\}</math> ;
* '''boule fermée de centre <math>c</math> et de rayon <math>r</math>''' l’ensemble <math>B_F(c,r)=\{x\in E\mid d(x,c)\le r\}</math>.
}}On trouve parfois la notation <math>\bar{B}(c,r)</math> pour la boule fermée, cette notation est ambigüe car elle peut aussi s'interpréter comme la fermeture de la boule ouverte. Ces deux interprétations ne concordent pas en générale, par exemple pour la distance discrète on a <math>B_F(c,1) = X</math> et <math>B(c,1) = \{c\}</math>. Cette notation abusive est utilisée car elle n'est pas gênante dans les espaces vectoriels pour lesquelles les deux notations concordent.{{Lemme|contenu=
Toute boule ouverte contenant un point <math>x</math> contient une boule ouverte centrée en <math>x</math>.
}}
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Pour tout <math>y\in B(x,r)</math>, on a <math>d(y,c)\le d(y,x)+d(x,c)<r+d(x,c)=R</math> donc <math>y\in B(c,R)</math>.
}}{{Corollaire|titre=Corollaire 1|contenu=▼
▲{{Corollaire|titre=Corollaire 1|contenu=
Un ensemble <math>U</math> est une réunion (finie ou non) de boules ouvertes si et seulement si, pour tout point <math>x</math> de cet ensemble, <math>U</math> contient une boule ouverte centrée en <math>x</math>.
}}
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