« Fonction logarithme/Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle » : différence entre les versions
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Ligne 19 :
a. Factoriser <math>-x^2 + 6x +16 =\ldots</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu
;Méthode générale :
On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :
:<math>\Delta = b^2 - 4ac = 36 + 4 \times 16 = 36 + 64 = 100</math>
On a <math>\Delta > 0</math>, donc le polynôme admet deux racines :
:<math>x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = 8</math>
:<math>x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = -2</math>
Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :
:<math>-x^2 + 6x +16 = - \left(x + 2\right) \times \left(x - 8 \right)</math>
;Méthode ad-hoc :
Une racine évidente de ce polynôme est ''x<sub>1</sub> = -2''. Pourtant, il ne s'agit pas d'une identité remarquable. Par conséquent, il admet deux racines réelles.
On sait que la somme des racines égale ''-b/a = 6'' et on trouve la seconde racine ''y''. On résout ainsi directement le problème :
:<math>-x^2 + 6x +16 = - \left(x + 2\right) \times \left(x - 8 \right)</math>
}}
b. Déterminer a et b pour que :
<center><math>f(x) = \frac{a}{{ - x + 8}} + \frac{b}{{x + 2}}</math></center>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu
On a :
:<math>f(x) = \frac{1}{{ - x^2 + 6x + 16}}</math>
Et on cherche ''a'' et ''b'' tels que :
:<math>f(x) = \frac{a}{{ - x + 8}} + \frac{b}{{x + 2}}</math>
Mettons ces fractions au même dénominateur :
:<math>\begin{align} \frac{a}{{ - x + 8}} + \frac{b}{{x + 2}} & = \frac{a \left(x + 2 \right)}{\left( - x + 8 \right) \times \left( x + 2\right)} + \frac{b \left(- x + 8 \right)}{\left( - x + 8 \right) \times \left( x + 2\right)} \\ \ & = \frac{ax + 2a - bx + 8b}{\left( - x + 8 \right) \times \left( x + 2\right)} \\ \ & = \frac{\left( a - b \right) x + 2a + 8b}{\left( - x + 8 \right) \times \left( x + 2\right)}\\ \ & = \frac{\left( a - b \right) x + 2a + 8b}{- x^2 + 6x + 16}\end{align}</math>
Les nombres ''a'' et ''b'' sont ainsi solution lorsque :
:<math>\begin{cases} a-b = 0 \\ 2a + 8b = 1 \end{cases}</math>
La première relation impose ''a = b''. En remplaçant dans la seconde :
:<math>2a + 8a = 10 a = 1\,</math>
On trouve : <math>a = b = \frac{1}{10}</math>.
}}
c. Déterminer une primitive de f sur <math>[-1 ; 1]</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédement :
:<math>f(x) = \frac{1/10}{{ - x + 8}} + \frac{1/10}{{x + 2}}</math>
En effet, on sait primitiver les fonctions de la forme ''u'/u'' (ce sont des logarithmes ln ''u''). Dans notre cas, si on pose :
:<math>u_1 = \left(-x + 8 \right)</math>
:<math>u_2 = \left(x + 2 \right)</math>
En dérivant :
:<math>u'_1 = - 1 \,</math>
:<math>u'_2 = 1 \,</math>
Par conséquent :
:<math>\frac{u'_1}{u_1} = - \frac{1}{-x+8}</math>
:<math>\frac{u'_2}{u_2} = \frac{1}{x+2}</math>
Et on peut réécrire ''ƒ'' sous la forme :
:<math>f \left(x \right) = - \frac{1}{10}\frac{u'_1}{u_1} + \frac{1}{10}\frac{u'_2}{u_2}</math>
On peut alors facilement trouver que les primitives de ''ƒ'' sont les fonctions :
:<math>F \left(x \right) = - \frac{1}{10} \ln \left(8 - x \right) + \frac{1}{10} \ln \left( x + 2 \right) + K</math>
où ''K'' est une constante.
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