« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Graphe |
Partie B, Question 4.b : solution |
||
Ligne 175 :
4. On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par :
<math>h(x) = -\frac{1}{2x}+ \frac{\ln(x)}{x}</math>
a. En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}{x}</math> est de la forme <math>u'(x).u(x)</math>, déterminer une primitive de la fonction h, que l'on notera H.
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Séparons la fonction à intégrer en deux parties :
:<math>h\left(x \right) = h_1 \left(x \right) + h_2 \left(x \right)</math>
Avec :
:<math>h_1 \left(x \right) = - \frac{1}{2x}</math>
:<math>h_2 \left(x \right) = \frac{\ln x}{x}</math>
Pour la première, nous avons l'idée de tenter une fonction comme <math>\ln \left(2x}</math>. Sa dérivée est <math>\frac{2}{2x}</math>. En multipliant par un facteur adapté, on trouve facilement :
:<math>H_1 \left(x \right) = -\frac12 \ln \left(2x\right)</math>
Pour la seconde, nous allons utiliser l'indication. Quelles sont les fonctions dont la dérivée est de la forme ''u'.u'' ? Si on ne s'en souvient pas, il est possible de repartir de la dérivée du produit ''uv'' :
:<math>\left(uv\right)' = u'v + uv'</math>
Lorsque ''u = v'', cela donne en particulier :
:<math>\left(u^2 \right)' = 2 u' u</math>
Par conséquent, à un facteur adapté près, une primitive de ''u'.u'' est ''u²''. Une primitive de la seconde partie est ainsi :
:<math>H_2 \left(x\right) = \frac12 \ln^2 \left(x \right)</math>
Finalement, les primitives de ''h'' sont les fonctions :
:<math>H(x) = H_1(x) + H_2(x) + K = \frac12 \left[ - \ln \left(2x\right) + \ln^2 \left(x \right) \right] + K</math>
où ''K'' est une constante. Puisqu'on ne demande ''qu'une'' primitive, on peut par exemple choisir ''K = 0''.
}}
b. Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, la droite D et les droites d'équations <math>x = \sqrt{e}</math> et <math>x = e\,</math>.
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
| |||