« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions
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Ligne 202 :
:<math>H(x) = H_1(x) + H_2(x) + K = \frac12 \left[ - \ln \left(2x\right) + \ln^2 \left(x \right) \right] + K</math>
où ''K'' est une constante. Puisqu'on ne demande ''qu'une'' primitive, on peut par exemple choisir ''K = 0''.}}
b. Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe <math>\mathcal C</math>, la droite <math>\mathcal D</math> et les droites d'équations <math>x = \sqrt{e}</math> et <math>x = e\,</math>.
{{boîte déroulante|titre
[[Image:WV-ExoMaths00003.gif]]
L'aire que l'on cherche à calculer est l'aire rouge. On peut facilement calculer :
*(aire rouge+aire bleue), qui correspond à l'intégrale de la fonction f entre <math>\sqrt e</math> et <math>e\,</math>
*aire bleue, qui correspond à l'intégrale de la fonction dont la courbe est <math>\mathcal D</math> entre <math>\sqrt e</math> et <math>e\,</math>
L'aire rouge vaut ainsi, en unités de surface :
<math>\begin{align}
\mathcal A&=\int_{\sqrt e}^e f(t)~\mathrm dt - \int_{\sqrt e}^e \frac t4~\mathrm dt\\
&=\int_{\sqrt e}^e \frac t4-\frac 1{2t}+\frac{\ln(t)}t~\mathrm dt - \int_{\sqrt e}^e \frac t4~\mathrm dt\\
&=\int_{\sqrt e}^e h(t)~\mathrm dt\\
&=\left [H(t) \right ]^{t=e}_{t=\sqrt e} = H(e)-H(\sqrt e)\\
&=\frac{\ln(e)}2(\ln(e)-1)-\frac{\ln(\sqrt e)}2(\ln(\sqrt e)-1)\\
&=-\frac{\ln(e)}4 \left (\frac12 \ln(e)-1 \right )\\
&=\frac18
\end{align}</math>
Comme l'unité de surface vaut en réalité <math>16~\textrm{cm}^2</math> : {{cadre simple|contenu=L'aire demandée vaut <math>2~\textrm{cm}^2</math>}}}}
[[Catégorie:Fonction logarithme]]
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