« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions
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Ligne 177 :
<math>h(x) = -\frac{1}{2x}+ \frac{\ln(x)}{x}</math>
a. En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Séparons la fonction à intégrer en deux parties :
:<math>h\left(x \right) = h_1 \left(x \right) + h_2 \left(x \right)</math>
Avec :
:<math>h_1 \left(x \right) = - \frac12.\frac
:<math>h_2 \left(x \right) = \frac{\ln x}{x}</math>
Pour la seconde, nous allons utiliser l'indication. Quelles sont les fonctions dont la dérivée est de la forme ''u'.u'' ? Si on ne s'en souvient pas, il est possible de repartir de la dérivée du produit ''uv'' :
Ligne 195 :
:<math>\left(u^2 \right)' = 2 u' u</math>
Par conséquent, à un facteur
Une primitive de <math>h_2\,</math> sur I est ainsi :
Finalement, les primitives de ''h'' sont les fonctions :▼
où ''K'' est une constante. Puisqu'on ne demande ''qu'une'' primitive, on peut par exemple choisir ''K = 0''.}}▼
▲Finalement, les primitives de ''h'' sont les fonctions H telles que pour tout <math>x\in I</math>:
:<math>H(x)=H_1(x)+H_2(x)+K=\frac12 \left[-\ln(x)+\ln(x)^2 \right]+K</math>
▲où ''K'' est une constante. Puisqu'on ne demande ''qu'une'' primitive, on peut par exemple choisir ''K = 0''.
{{cadre simple|contenu=Finalement, une primitive de h est <math>H:x \mapsto \frac12\ln(x)^2-\frac12 \ln(x)=\frac{\ln(x)}2(\ln(x)-1)</math>}}}}
b. Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe <math>\mathcal C</math>, la droite <math>\mathcal D</math> et les droites d'équations <math>x = \sqrt{e}</math> et <math>x = e\,</math>.
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