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« Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances » : différence entre les versions

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Nouvelle page : {{Exercice |titre=Primitives et fonctions puissances |idfaculté=mathématiques |leçon=Initiation au calcul intégral |niveau=12 |chapitre=Initiation au calcul intégral |nu...
 
Question 1
Ligne 12 :
==Fonctions de la forme <math>u '\times u^n</math>==
 
===Question 1===
1) On cherche une primitive sur <math>\R</math> de la fonction <math>f(x) = (x + 5 )^2\,</math>
 
a) Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme <math>u^n~:~\cdots</math> :
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! <math>(u^n)'=n~u'~u^{n-1}</math>}}▼
...
b) A titre d'exemple, dériver la fonction <math>G(x) = ( x + 5 )^3\,</math>▼
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
▲b) A titre d'exemple, dériver la fonction <math>G(x) = ( x + 5 )^3\,</math>
 
<math>G '(x) = ...\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =Ici Votre solution est bienvenue ! }}:
*u(x)=x+5
*u'(x)=x+5
*n=3
 
{{cadre simple|contenu=<math>G'(x)=3(x+5)^2\,</math>}}}}
 
c) Ecrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
 
<math>f(x) =...\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! <math>f(x)=\frac{G'(x)}3</math>}}
 
d) En déduire une primitive F de f sur <math>\R</math> :
 
<math>F(x) =...\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =Une Votreprimitive solutionF estde bienvenuef !sur <math>\R</math> est alors <math>F(x)=\frac{G(x)}3=\frac{(x+5)^3}3</math>}}
 
e) Vérification : <math>F ' (x) =...\cdots=f(x)</math>▼
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }<math>\begin{align}▼
F'(x)&=\frac13~G'(x)\\
&=\frac13~3(x+5)^3\\
&=(x+5)^3\\
&=f(x)
\end{align}</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc F est bien une primitive de f.}}}}
 
===Question 2===
 
2) De même avec <math>f(x) = (3 x3x-2)^3\,</math> en faisant apparaître la dérivée de <math>G(x) = (3x-2 )^...{\cdots}</math>▼
 
e) Vérification : <math>F G'(x) =...= f(x)\cdots</math>
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
 
<math>f(x) =...\cdots</math>▼
▲2) De même avec <math>f(x) = (3 x-2)^3\,</math> en faisant apparaître la dérivée de <math>G(x) = (3x-2 )^...</math>
 
<math>G 'F(x) =...\cdots</math>
 
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}▼
▲<math>f(x) =...</math>
 
Vérification : <math>F'(x)=\cdots</math>
F(x) =...
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
 
===Question 3===
▲Vérification : <math>F ' (x) =...</math>
 
3) De même avec <math>f(x)=x(x^2-4)^2\,</math> en faisant apparaître la dérivée de <math>G(x) =....</math>
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