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L’histoire du ‘’Dernier‘’ théorème commence aux alentours de l’année 1638. Fermat est alors âgé d’une trentaine d’années. On peut mieux comprendre son inextinguible soif de connaissances en considérant qu'il vit à une époque où, sans rien renier des connaissances des Anciens mais au contraire en les admirant, on s'attache à leur étude pour mieux aller de l'avant. Tout est digne d'intérêt et on est polymathe. Fermat est de ces hommes, humaniste, lettré, philologue, il connaît le latin, le grec et l'italien, fait des vers français, latins, espagnols. Natif de Beaumont-de-Lomagne dans le Tarn-et-Garonne, il s'installe d'abord à Bordeaux, puis à Toulouse, faisant carrière dans la magistrature où il s'acquitte de sa tâche d'une manière exemplaire. Lorsqu'il découvre l'arithmétique des Anciens, il y voit une telle intelligence, une telle stimulation pour l'esprit, que se contenter d'une activité rémunérée ayant surtout l'avantage d'assurer sa subsistance n'est même pas une question à se poser. Il voit dans l'étude des nombres la voie royale pour contempler les mystères de la Nature. Son enthousiasme débordant a trouvé le moyen de s'exprimer, sa voie est toute tracée. Grâce à lui, la connaissance pourra s'accroître et se propager. La science des nombres n'est pas sa seule passion, le latin, langue des savants et des lettrés, n'a aucun secret pour lui. ''« Il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »'' Il est très croyant, comme en témoigne [[s:Page:Œuvres_de_Fermat,_Tannery,_tome_1,_1891.djvu/439|son poème latin]] ‘’''Soumets-toi à Dieu ou l'agonie du Christ‘’'' dédié à Jean-Louis GUEZ de BALZAC. Au début du poème, la raison est engagée à renoncer aux vaines divinités des fables et à se soumettre à Dieu. Fermat est discret dans la vie, et bien que ce fût un génie, ''« le plus grand homme du monde'' ''»'' selon Blaise Pascal, on sait peu de choses sur sa vie. On ne connaît que quelques très rares démonstrations qu'il voulut bien livrer, une des plus remarquables étant celle où il démontre que le nombre 26 est le seul de tous à être compris entre un carré et un cube : 25 (5x5), et 27 (3x3x3).
Un jour
À partir de l'exposant ''5'' et jusqu’à l’infini, il comprend vite que la méthode n'est plus adaptée. Il lui faut trouver une autre voie, qui très certainement n’aura aucun rapport avec la première. En 1670, cinq ans après sa mort, dans une courte ''“OBSERVATIO”'' provocatrice écrite en latin et tenue jalousement secrète de son vivant, mais que son fils Clément-Samuel fait connaître, il affirme avoir « assurément dévoilé une explication tout à fait étonnante que la marge trop étroite ne saurait contenir ». À cette observation Samuel en a ajouté 47 autres, le tout est inséré aux endroits adéquats dans le Livre VI de l’''Arithmetica'' du mathématicien grec Diophante qui fut publiée en 1621, et où Bachet de Méziriac avait ajouté une traduction du grec au latin. On dispose donc en 1670 d'une nouvelle ''Arithmetica'' légèrement augmentée mais ô combien précieuse pour la suite. L'observation en question se rapporte à la question VII, c'est la deuxième des 48 et elle se distingue notablement des autres. Nous y reviendrons.▼
Chez les Anciens on n’était pas sollicité dès le plus jeune âge par toutes les vanités qui encombrent maintenant l’esprit de nos enfants. De grandes intelligences ont pu ainsi atteindre à un grand savoir en pénétrant l’essence des choses. Socrate, Euclide, furent de ces hommes. Bien plus tard et dans un même siècle, Pascal, Leibnitz et Fermat qui fut un fameux exemple en théorie des nombres, construisant de puissants raisonnements avec parfois le seul recours aux mots.▼
Comme Pythagore, Fermat sait que quand l’homme a posé ''1'', puis ''2'', tout est déjà posé, l’unicité, la pluralité du monde. Quelque chose pourtant a dû spécialement lui plaire avec ce premier nombre pluriel, pour rendre le théorème de Pythagore décidément inégalable par sa puissance, sa singularité, en imaginant une conjecture beaucoup plus plurielle. Il fallait mettre sur un des deux plateaux de la balance les plus importantes propriétés du premier nombre entier suivant l’unité, l'unité doublée. Puis trouver et placer sur l’autre plateau une nouvelle conjecture qui soit en rapport avec la première, mais appelant cette fois l’infinité des nombres entiers (remarquons que ''1'', le nombre unitaire, n’est pas directement présent dans la «comparaison», il est “à part”). Peser le pour et le contre semblait ''a priori'' un défi gigantesque. Certainement très vite Fermat voit que les deux plateaux de la balance ne pourront jamais se trouver à la même hauteur, une mise en abyme est impossible. Il va donc s’attacher à le prouver.▼
La question du Dernier théorème est bien plus qu’une question arithmétique. Son histoire est comme un symbole profond de l'historiographie de la Mathématique. En reprenant l'idée de Eric Temple Bell nous sommes certain que la civilisation s'éteindra avant que nos mathématiciens puissent comprendre l'explication de Fermat.▼
== Genèse de l'étude ==
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* D'autre part, certains des écrits les plus importants de Fermat sont rédigés en latin, la langue de l'ellipse par excellence. Fermat étant expert en latin, il nous a fallu débusquer le plus possible de ses non-dits – écrits, mais subtilement cachés – auxquels l'obligeaient : a) le souci de discrétion dans une époque troublée (alors qu'il est magistrat) ; b) le manque de temps ; c) le principe même du défi, qui s'accordait avec les deux points précédents ; enfin, d) son goût pour la pédagogie, qui s'accorde à son tour avec les points précédents. Quatre raisons donc d'en dire le moins possible.
▲Un jour donc, alors qu'il est en contemplation devant la beauté du théorème de Pythagore (a²=b²+c²), il s'interroge. Pourrait-on ajouter encore quelque chose au sujet, quelque chose auquel personne n'aurait jamais osé évoquer ? Dans la formule de Pythagore, l'exposant est le nombre 2, le seul nombre qui élevé au carré soit égal à son double (2² = 2+2). Fermat put penser que cette propriété lui conférait des propriétés très particulières, et il a l'idée qui allait bouleverser les mathématiques pour les siècles à venir. L'impensable se produit, il remplace l'exposant ''2'' par un ''3''. Est-ce que l'égalité pourrait encore exister pour certains cas en choisissant avec soin les valeurs de ''a, b et c'' ? On perçoit déjà l'étendue de ses ambitions. ''A priori'' il ne semblait pas que ce fût possible, on pouvait toujours s’en approcher de très près, parfois même à une unité, mais trouver une solution semblait impossible. Le nombre ''2'', monstre mathématique, semble le suggérer, à l'Unité, on a ajouté l'unité pour en faire une double unité, une manipulation philosophiquement blasphématoire – ou merveilleusement créatrice. Non seulement ''2'' est le premier des nombres premiers, mais il est aussi le seul nombre premier à être pair. Pour Fermat, tenter de prouver l'impossibilité de son égalité serait un défi formidable, et c'est tout ce qu'il lui faut. Certainement se rend-il compte assez vite qu’il serait plus facile de tester d'abord sa méthode avec un ''4'' en exposant, le carré de ''2'', ce nombre qui semble narguer tous ses suivants. Il utilise une méthode qu'il nomme ‘’descente infinie’’, ou descente indéfinie, un raisonnement par récurrence et un autre par l'absurde, le tout extrêmement efficace. Sa méthode fonctionne parfaitement avec l'exposant ''4'', plus difficilement avec ''3''. En septembre 1636 il commence à exciter la curiosité de ses correspondants, dans une lettre à Mersenne pour Sainte-Croix il propose ce défi : ''<span style="color:blue">« Trouver deux puissances quatrièmes dont la somme est une puissance quatrième et deux cubes dont la somme est un cube ».''</span><br>
▲À partir de l'exposant ''5'' et jusqu’à l’infini, il comprend vite que la méthode n'est plus adaptée. Il lui faut trouver une autre voie, qui très certainement n’aura aucun rapport avec la première. En 1670, cinq ans après sa mort, dans une courte ''“OBSERVATIO”'' provocatrice écrite en latin et tenue jalousement secrète de son vivant, mais que son fils Clément-Samuel fait connaître, il affirme avoir « assurément dévoilé une explication tout à fait étonnante que la marge trop étroite ne saurait contenir ». À cette observation Samuel en a ajouté 47 autres, le tout est inséré aux endroits adéquats dans le Livre VI de l’''Arithmetica'' du mathématicien grec Diophante qui fut publiée en 1621, et où Bachet de Méziriac avait ajouté une traduction du grec au latin. On dispose donc en 1670 d'une nouvelle ''Arithmetica'' légèrement augmentée mais ô combien précieuse pour la suite. L'observation en question se rapporte à la question VII, c'est la deuxième des 48 et elle se distingue notablement des autres. Nous y reviendrons.
▲Chez les Anciens on n’était pas sollicité dès le plus jeune âge par toutes les vanités qui encombrent maintenant l’esprit de nos enfants. De grandes intelligences ont pu ainsi atteindre à un grand savoir en pénétrant l’essence des choses. Socrate, Euclide, furent de ces hommes. Bien plus tard et dans un même siècle, Pascal, Leibnitz et Fermat qui fut un fameux exemple en théorie des nombres, construisant de puissants raisonnements avec parfois le seul recours aux mots.
▲Comme Pythagore, Fermat sait que quand l’homme a posé ''1'', puis ''2'', tout est déjà posé, l’unicité, la pluralité du monde. Quelque chose pourtant a dû spécialement lui plaire avec ce premier nombre pluriel, pour rendre le théorème de Pythagore décidément inégalable par sa puissance, sa singularité, en imaginant une conjecture beaucoup plus plurielle. Il fallait mettre sur un des deux plateaux de la balance les plus importantes propriétés du premier nombre entier suivant l’unité, l'unité doublée. Puis trouver et placer sur l’autre plateau une nouvelle conjecture qui soit en rapport avec la première, mais appelant cette fois l’infinité des nombres entiers (remarquons que ''1'', le nombre unitaire, n’est pas directement présent dans la «comparaison», il est “à part”). Peser le pour et le contre semblait ''a priori'' un défi gigantesque. Certainement très vite Fermat voit que les deux plateaux de la balance ne pourront jamais se trouver à la même hauteur, une mise en abyme est impossible. Il va donc s’attacher à le prouver.
▲La question du Dernier théorème est bien plus qu’une question arithmétique. Son histoire est comme un symbole profond de l'historiographie de la Mathématique. En reprenant l'idée de Eric Temple Bell nous sommes certain que la civilisation s'éteindra avant que nos mathématiciens puissent comprendre l'explication de Fermat.
== Mathématique et poésie ==
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