« Recherche:L'énigme de Fermat passée au crible » : différence entre les versions
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La [[w:Ellipse_(rhétorique)|preuve]] de Fermat, beaucoup plus courte bien que très difficile à assimiler, n’a toujours pas été comprise par les Modernes.
Voici, agrandie, une photo de l’''Observatio'' de Fermat, observation qu'il écrivit on ne sait où au juste, à propos de la conjecture qu'il affirme avoir prouvée (vers 1636 lit-on généralement, je pense que c'est plus tardif). C'est ici l'exemplaire de la Bibliothèque de Lyon, qui attira l'attention de Roland Franquart en 2009.▼
Voici la traduction littérale, la plus exacte que l'on puisse faire, de sa célèbre observation énonçant le théorème, avec :▼
[[Fichier:Fermat last teorem.jpg|800px|centre]]<center>Exemplaire de l'Université de Lyon</center>▼
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* [https://www.lexilogos.com/latin/gaffiot.php?q=detego ''detexi''], du verbe detego : '''dévoiler''', '''mettre à nu''' (Dictionnaire Gaffiot).
* [http://www.dicolatin.com/XY/LAK/0/DETEXI/index.htm ''detexi''] : '''mettre à découvert''', découvrir, '''<u>mais dans le sens</u>''' de '''“ôter ce qui couvre”''' (Dicolatin).
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* [https://www.lexilogos.com/latin/gaffiot.php?q=demonstratio ''demonstratio'' et ''demonstrationem''] sur Gaffiot ; action de montrer, de démontrer, de décrire ; [http://www.dicolatin.com/XY/LAK/0/DEMONSTRATIONE/index.htm demonstrationem] sur Dicolatin : '''démonstration, description, raisonnement rigoureux.'''
<span style="color:blue">''« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux
Voici maintenant la seule traduction officielle, qui est d'Émile Brassinne, dans son ouvrage ''Précis des œuvres mathématiques de P. Fermat et de l’Arithmétique de Diophante'' (Toulouse, 1853), cette [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k108039t/f55.item traduction] est reprise par Serge Coquerand [https://books.google.fr/books?id=Wm3hCgAAQBAJ&lpg=PA33&ots=qP6A_hdWRE&dq=jen%20ai%20assurément%20découvert%20fermat&hl=fr&pg=PA33#v=onepage&q=jen%20ai%20assurément%20découvert%20fermat&f=false dans son ouvrage ''À la (re)découverte des dix livres de l'arithmétique de Diophante'')] ainsi que par [https://plus.wikimonde.com/wiki/Bertrand_Hauchecorne Bertrand Hauchecorne], qui l’exprime [https://www.franceculture.fr/emissions/une-vie-une-oeuvre/pierre-de-fermat-lenigmatique dans l'émission de France Culture ''Pierre de Fermat l’énigmatique'' (à 19’ 25’’)] :
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Ces 48 observations qui tiendraient en quelques pages ont été ajoutées par son fils Clément-Samuel à l'édition de l’''Arithmetica'' de 1621, pour composer l’''Arithmetica'' de 1670. Voilà un ''nouveau'' livre qui a énormément contribué à la connaissance, un livre dont le “prologue” par Diophante est bien plus long que le texte de Fermat. Au fil du temps cette observation du XVII<sup>e</sup> siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés, seul leur paraissait important le principe du théorème, qui y était parfaitement énoncé. La note en latin elle-même fut souvent mal retranscrite, on en connaît une dont le premier mot a été transformé en ''Cubem'' : ''« Que nous dormions ! »'' On n'a pas encore vu une traduction de ''Cubum autem in duos cubos'' par « mais je dors les deux coudes sur la table » mais un élève étourdi ou blagueur aurait bien pu la faire.
▲Voici, agrandie, une photo de l’''Observatio'' de Fermat, observation qu'il écrivit on ne sait où au juste, à propos de la conjecture qu'il affirme avoir prouvée (vers 1636 lit-on généralement, je pense que c'est plus tardif). C'est ici l'exemplaire de la Bibliothèque de Lyon, qui attira l'attention de Roland Franquart en 2009.
<span style="color:blue">« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai assurément
▲[[Fichier:Fermat last teorem.jpg|800px|centre]]<center>Exemplaire de l'Université de Lyon</center>
▲En voici la traduction littérale, que Fermat destine au lecteur non averti. Nous verrons plus loin qu'une seconde interprétation, évidente après le décodage effectué par Roland Franquart en 2008, de l'observation mathématique la plus énigmatique de tous les temps, est également possible. L'évidence de la seconde interprétation est encore accentuée quand on a sous les yeux une version de l'''Arithmetica'' très particulière (voir ''infra'') que j'ai découverte en 2017 au bout de laborieuses recherches sur internet. Nous verrons aussi que les deux interprétations ont eu chacune leur utilité. La traduction littérale donc :<br>
▲<span style="color:blue">« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai assurément mis à nu (ou dévoilé) l’explication (ou la démonstration) étonnante (ou merveilleuse, admirable). La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »</span>
En termes modernes :<br>''« x, y, z étant des entiers positifs, ''x{{exp|n}} + y{{exp|n}} = z{{exp|n}}'' est impossible pour toute valeur de ''n (nombre entier)'' supérieure à 2. »''
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La trouvaille qui m'a le plus réjoui n'est pas la découverte de cette très curieuse version de l’''Arithmetica'', car bien que j'ai passé énormément de temps à rechercher une troisième version de l'''Arithmetica'', j'ai surtout eu beaucoup de chance (et d'entêtement), elle aurait pu ne pas être présente sur internet, et finalement le décodage de cette anomalie n'en a pas été trop difficile, surtout avec les données dont je disposais déjà grâce en particulier à Roland Franquart. Non, là où j'ai été le plus heureux, c'est quand j'ai fait [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%E2%80%99%C3%A9nigme_de_Fermat_pass%C3%A9e_au_crible#Premier_maillon,_les_nombres_de_Fermat cette découverte] relative aux “nombres de Fermat”. Quand on commence à suivre Fermat on fait preuve de plus en plus d'audace, sans aucun complexe, pour s'aventurer de l'autre côté du miroir, là où personne n'est encore allé. Il a fallu du temps, de la méditation, inconsciente aussi (sérendipité), de multiples relectures de la lettre à Carcavi, jusqu'à ce que, la connaissant par cœur, je la relise une dernière fois ''comme en pensant à autre chose''. Et soudainement la ruse de Fermat m'est apparue dans tout son éclat. Il avait d'abord fallu oser imaginer que son astuce pouvait être d'une habileté diabolique, puis peser chaque mot de la proposition adressée à Carcavi. Il y a quelque chose d'infiniment réjouissant en ce que nous les humbles avons souvent une vie bien plus apaisée, une vision des choses plus fine, que les personnalités très en vue soumises à toutes sortes de contraintes.
* Lorsque je fis part à Catherine Goldstein de ma découverte du mot ''«detex'''ṡ'''»'' (rappelons que le mot, ici comme ailleurs, est suivi d'un point surchargé), elle me fit cette réponse laconique : ''« L'arithmetica est fautive. »'' En effet l'ouvrage original de Diophante (1621) et très fautif, certains passages sont complètement inexploitables, au point que Huygens avait renoncé à en poursuivre la lecture, et Fermat n'avait pu entièrement le déchiffrer. Les remarques que son fils y a ajoutées aux endroits adéquats en 1670, sont quant à elles écrites dans un style aussi parfait que dans ses correspondances et ne comportent aucune erreur, à moins de considérer comme une “erreur” le fait qu'il existe 3 versions différentes de l’''Arithmetica'', et comme des extraordinaires coïncidences les multiples indices (on en comptera finalement 27). Je n'ai pas voulu mettre Catherine dans l'embarras et lui demander pourquoi elle m'avait fait cette réponse
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<span style="color:blue">''« Il faut lire le texte de Fermat en “oubliant” nos mathématiques actuelles, notamment l'idée de limite [...]. »''</span>
J'adhère complètement à cette idée concernant l'exemple cité. Mieux, cette conception est pour moi le seul moyen d'accès à la compréhension de la preuve qu'il délivre. Pour comprendre Fermat il faut déjà VOULOIR comprendre. Celui qui n'essaie même pas, évidemment jamais ne pourra. En outre était-il facile pour un mathématicien professionnel habitué à lire calculs et démonstrations d’imaginer, même à la vue d’une étrange anomalie dans l'« ''Observation'' », qu'il faille chercher d'autres indices qu'aurait pu laisser Fermat ?
Au dix-septième siècle, les mathématiciens professionnels étant rares et les ouvrages mathématiques avaient un public restreint, il était difficile de trouver un éditeur acceptant de s’engager. Il est donc probable que Samuel a été contraint de publier l’''Arithmetica'' à compte d’auteur, possiblement en une cinquantaine d’exemplaires, en tous cas guère plus d’une centaine d’après nos sources. Une option beaucoup plus économique, plus simple et plus rapide, aurait été de publier un opuscule contenant les 48 observations de son père auxquelles ce dernier aurait ajouté de très courtes démonstrations, très condensées, voie elliptiques. Mais sont-ce là les manières de Pierre de Fermat ? Jamais jusqu’à sa mort ce magicien des nombres n’a mâché le travail des mathématiciens. Aurait-il été digne de la part du pédagogue – surtout après qu’il ait été lâché de toutes parts – de leur livrer toutes ses découvertes ? Au contraire, l’insertion des 48 observations aux endroits appropriés de l’''Arithmetica'' laisse facilement penser au lecteur naïf que Fermat aurait écrit de très longues observations dans les marges. Et on retrouve ici la question : pourquoi Samuel s’est-il vu dans l’obligation de détruire l’exemplaire d’une valeur inestimable que possédait son père ?
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