« Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre » : différence entre les versions
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Ligne 103 :
#Une primitive de <math>\frac1{x^2}</math> est <math>-\frac1x</math> donc la solution est <math>y=A\operatorname e^{1/x}</math> (<math>A\in\R</math>).
#Une primitive de <math>-\frac2x</math> est <math>-\ln\left(x^2\right)</math> donc la solution de l'équation homogène est <math>y=A\operatorname e^{\ln\left(x^2\right)}=Ax^2</math> (<math>A\in\R</math>). Pour résoudre l'équation avec second membre, on pose donc <math>y(x)=x^2A(x)</math>. L'équation équivaut alors à <math>A'=\frac3x</math>, {{nobr|c'est-à-dire}} <math>A(x)=3\ln x+C</math> donc la solution est <math>y(x)=3x^2\ln x+Cx^2</math> (<math>C\in\R</math>).
[[Fichier:Puissance reelle.svg|thumb]]
Remarque généralisant la question 1 : Pour tout réel <math>\alpha</math>, les solutions pour <math>x\ne0</math> de l'équation différentielle <math>xy'-\alpha y=0</math> sont <math>y=C|x|^\alpha</math> ; plus précisément : <math>y=C_+x^\alpha</math> si <math>x>0</math> et <math>y=C_-(-x)^\alpha</math> si <math>x<0</math>, où <math>C_+</math> et <math>C_-</math> sont deux réels arbitraires. Mis à part le cas trivial <math>\alpha\ne0</math>, pour l'allure du graphe et de l'éventuel recollement en <math>x=0</math>, on distingue les cas :
*<math>\alpha>1</math> : recollement dérivable en <math>0</math>, quels que soient les choix de <math>C_+</math> et <math>C_-</math> ;
*<math>\alpha=1</math> : recollement dérivable en <math>0</math> si et seulement si <math>C_-=-C_+</math> ;
*<math>0<\alpha<1</math> : recollement non dérivable en <math>0</math> ;
*<math>\alpha<0</math> : pas de recollement en <math>0</math>.
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