« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

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L'égalité <math>f(x)=\lambda g(x)</math> étant aussi vérifiée pour les <math>x</math> tels que <math>g(x)=0</math>, la conclusion s'ensuit.
}}
==Une base adaptée==
Pour tout <math>m\in\N</math>, on note <math>\R_m[X]</math> le sous-espace vectoriel des [[polynôme]]s de degré <math>\le m</math> dans <math>\R[X]</math>.
 
Soit <math>\varphi:\R[X]\to\R[X]</math> l'application définie par <math>\varphi(P(X))=P(X+1)-P(X)</math>.
#Démontrer que <math>\varphi</math> est linéaire.
#Démontrer que <math>\varphi(P)\ne0</math> pour tout <math>P</math> dont le degré est <math>\ge1</math> ; en déduire le noyau de <math>\varphi</math>.
#On considère <math>P_0=1</math>, <math>P_k=\frac1{k!}X(X-1)\dots(X-k+1)</math> pour tout <math>k\in\N^*</math>. Démontrer que <math>\varphi(P_k)=P_{k-1}</math> pour tout <math>k\in\N^*</math>.
#Démontrer que <math>(P_0,\dots,P_m)</math> est une base de <math>\R_m[X]</math>.
#Soit <math>n\in\N^*</math>.
##Démontrer que <math>\varphi(\R_n[X])=\R_{n-1}[X]</math>.
##Pour tout <math>Q\in\R_{n-1}[X]</math>, donner une méthode permettant de calculer <math>P\in\R_n[X]</math> tel que <math>\varphi(P)=Q</math>.
##Calculer <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\varphi(P)=X^2</math> et <math>P(1)=0</math>. En déduire la somme <math>1^2+2^2+\dots+\ell^2</math> pour tout <math>\ell\in\N^*</math>.
{{Solution|contenu=
#On vérifie sans peine que <math>\varphi(\lambda P)=\lambda\varphi(P)</math> et <math>\varphi(P+Q)=\varphi(P)+\varphi(Q)</math>.
#Si <math>\deg(P)=m\ge1</math> alors <math>\deg(\varphi(P))=m-1\ge0</math> donc <math>\varphi(P)\ne0</math>. Réciproquement, si <math>P</math> est constant alors <math>\varphi(P)=0</math>. Donc <math>\ker\varphi=\R_0[X]</math> (le sous-espace des polynômes constants).
#On vérifie sans peine que <math>\varphi(P_k)=P_{k-1}</math>.
#<math>\deg(P_k)=k</math> donc <math>(P_0,\dots,P_m)</math> est libre donc c'est une base de <math>\R_m[X]</math> (car cet espace est de dimension <math>m+1</math>).
#
##Conséquence immédiate des questions précédentes.
##Si <math>Q=\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kP_k</math>, le polynôme <math>P:=\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kP_{k+1}</math> convient.
##<math>X^2=2P_2+P_1=\varphi(P)</math> avec <math>P:=2P_3+P_2=\frac{X(X-1)(2X-1)}6</math> donc <math>1^2+2^2+\dots+\ell^2=P(\ell+1)=\frac{\ell(\ell+1)(2\ell+1)}6</math>.}}
 
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