« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
ajout d'une puissance 2 sur béta que je pense avoir été oubliée
m →‎Recherche d'une racine évidente : preuve remplacée par un LI
Ligne 55 :
}}
 
{{démonstrationDémonstration déroulante|contenu=
Voir [[Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers#Exercice 4-3]].
| contenu =
En posant <math>x=p/q</math>, on a :
 
:<math>\frac{ap^3}{q^3} + \frac{bp^2}{q^2} + \frac{cp}q= -d \quad \Leftrightarrow \quad \frac{ap^3 + bqp^2 + cq^2p}{q^3} = -d \quad \Leftrightarrow \quad ap^3 + bqp^2 + cq^2p = -dq^3</math>.
 
On obtient alors
:<math>p(ap^2 + bqp + cq^2) = -dq^3</math>.
 
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le [[Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss|lemme de Gauss]], on en déduit :
:<math>p</math> est premier avec <math>-q^3</math> et divise <math>-dq^3</math>, donc il divise <math>d</math>.
 
De même :
:<math>ap^3 = q(-dq^2 -bp^2 -cqp)</math>.
:<math>q</math> est premier avec <math>p^3</math> et divise <math>ap^3</math>, donc il divise <math>a</math>.
}}
 
 
{{Exemple|titre=Exemples|contenu=