« Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1 » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m Révocation des modifications de 2401:4900:1BC2:810A:1:2:9716:8811 (discussion) vers la dernière version de Anne Bauval
Balise : Révocation
 
Ligne 117 :
 
'''2°''' &nbsp;La partie réelle de <math>1-\left(\cos t+\mathrm i\sin t\right)^{18}</math> est aussi égale à <math>1-\sum_{k=0}^9\binom{18}{2k}(-1)^k\left(1-\cos^2t\right)^k\cos^{18-2k}t=\left(1-\cos^2t\right)\,Q(\cos t)</math>, où <math>Q</math> est un polynôme de degré 16 à 8 racines doubles : <math>\pm\cos\frac\pi9,\pm\cos\frac{2\pi}9,\pm\cos\frac{3\pi}9,\pm\cos\frac{4\pi}9</math>. Le coefficient dominant de <math>Q</math> est <math>2^{17}</math> et son terme constant est <math>2</math>, donc <math>C=\sqrt[4]{\frac2{2^{17}}}=\frac1{16}</math>.
 
Par conséquent, <math>\prod_{k=1}^8\cos\frac{k\pi}9=C^2=\frac1{4^4}</math>. Pour une généralisation, voir [[Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-7]].
}}