« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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→‎Exercice 1-7 : et réciproquement
(→‎Exercice 1-7 : remarque + LI)
m (→‎Exercice 1-7 : et réciproquement)
Le <math>m</math>-ième polynôme de Tchebychev <math>T_m</math> est de degré <math>m</math>, de coefficient dominant <math>2^{m-1}</math> et de terme constant <math>(-1)^{m/2}</math> si <math>m</math> est pair. <math>P</math> est donc de degré <math>2n</math>, de coefficient dominant <math>p_{2n}=2\times2^{2n-1}=4^n</math> et de terme constant <math>p_0=2(-1)^n+2(-1)^{n-1}+\dots+2(-1)+1=(-1)^n</math>. Le produit <math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math> de ses racines est bien égal à <math>(-1)^{2n}\frac{p_0}{p_{2n}}=\frac1{(-4)^n}</math>.
}}
Remarque : onde enfaçon déduit immédiatementéquivalente, <math>\prod_{k=1}^n\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac1{2^n}</math>.
*Pour une autre méthode, voir [[Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6]] question 2 (dans le cas particulier <math>n=4</math>).
*Pour d'autres formules de ce genre, voir [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques]].
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