« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

(→‎Exercice 1-6 : ajouté une question)
*Pour une autre méthode, voir [[Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6]] question 2 (dans le cas particulier <math>n=4</math>).
*Pour d'autres formules de ce genre, voir [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques]].
 
== Exercice 1-8==
Soit un polygone régulier de sommets <math>A_1,\dots,A_n</math> inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que
:<math>A_1A_2\cdot A_1A_3\cdots A_1A_n=n</math>.
{{Solution|contenu=
Il s'agit de vérifier que <math>|\omega-1||\omega^2-1|\dots|\omega^{n-1}-1|=n</math>, où <math>\omega=\operatorname e^{\mathrm i\frac{2\pi}n}</math>.
 
Le polynôme <math>P(X):=(X-\omega)(X-\omega^2)\dots(X-\omega^{n-1})</math> est égal à <math>\frac{X^n-1}{X-1}=1+X+\dots+X^{n-1}</math> donc <math>P(1)=n</math>.
}}
 
{{Bas de page
13 027

modifications