« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

*Pour d'autres formules de ce genre, voir [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques]].
 
== Exercice 1-8==
Soit un polygone régulier de sommets <math>A_1,\dots,A_n</math> inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que
:<math>A_1A_2\cdot A_1A_3\cdots A_1A_n=n</math>.
 
Le polynôme <math>P(X):=(X-\omega)(X-\omega^2)\dots(X-\omega^{n-1})</math> est égal à <math>\frac{X^n-1}{X-1}=1+X+\dots+X^{n-1}</math> donc <math>P(1)=n</math>.
}}
 
==Exercice 1-9==
Le polynôme <math>P(X):=X^3+X+1</math> a-t-il une racine double ?
{{Solution|contenu=
Non car les racines de <math>P'(X)=3X^2+1</math> sont <math>\pm\frac{\mathrm i}\sqrt3</math> et aucune des deux n'est racine de <math>P</math>.
}}
 
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