« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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{{Solution|contenu=
Non car les racines de <math>P'(X)=3X^2+1</math> sont <math>\pm\frac{\mathrm i}\sqrt3</math> et aucune des deux n'est racine de <math>P</math>.
}}
==Exercice 1-10==
Soit <math>P</math> un polynôme non constant tel que <math>P(X)\mid P(X^2)</math>.
#En donner des exemples.
#Si <math>\alpha</math> est une racine de <math>P</math>, montrer que <math>\alpha=0</math> ou <math>\alpha</math> est une racine ''n''-ième de 1 pour un certain ''n''.
{{Solution|contenu=
#<math>P(X)=X</math>, <math>P(X)=X^n-1</math>, ou des produits de tels polynômes.
#Si <math>P(X)\mid P(X^2)</math> alors pour toute racine <math>\alpha</math> de <math>P</math>, <math>\alpha^2</math> est aussi racine de <math>P</math> et ainsi, <math>\alpha^{2^k}</math> est racine de <math>P</math> pour tout <math>k\in\N</math>. Comme <math>P</math> n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers <math>i>j\ge0</math> tels que <math>\alpha^{2^i}=\alpha^{2^j}</math>, d'où <math>\alpha=0</math> ou <math>\alpha^{2^i-2^j}=1</math>.
}}
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