« Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé » : différence entre les versions
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Trouver tous les polynômes <math>P\in\
{{Solution|contenu=
On constate rapidement que le polynôme nul est solution et que les polynômes constants non nuls ne le sont pas.
Si un polynôme <math>P</math> de degré <math>n\ge1</math> est divisible par <math>P'</math> alors (par comparaison des degrés et coefficients dominants de <math>P</math> et <math>P'</math>) il existe <math>\alpha\in\
:<math>P^{(k)}(X)=\frac{X-\alpha}{n-k}P^{(k+1)}(X)</math> pour tout <math>k</math> de <math>0</math> à <math>n-1</math>.
Par conséquent, <math>P</math> est de la forme <math>\lambda(X-\alpha)^n</math>. Réciproquement, tout polynôme de cette forme est divisible par son polynôme dérivé.
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==Exercice 2-2==
Trouver tous les <math>(A,B)\in(\C[X])^2</math> tels que <math>A=B'B''</math> et <math>B=A'A''</math>.
{{Solution|contenu=
Ces deux polynômes doivent être de degrés respectifs <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>, avec <math>\alpha=\beta-1+\beta-2=2\beta-3</math> et <math>\beta=2\alpha-3</math> donc <math>\alpha=\beta=-\infty</math> ou <math>3</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>A=B=0</math> ou <math>A=aX^3+bX^2+cX+d</math> et <math>B=a'X^3+b'X^2+c'X+d'</math> avec <math>aa'\ne0</math>. Dans ce cas, l'équation <math>A=(3a'X^2+2b'X+c')(6a'X+2b')</math> se traduit par <math>a=18a'^2,b=18a'b',c=4b'^2+6a'c',d=2b'c'</math>. De même, <math>B=A'A''</math> se traduit par <math>a'=18a^2,b'=18ab,c'=4b^2+6ac,d'=2bc</math>.
On a <math>a=18a'^2</math> et <math>a'=18a^2</math> (avec <math>aa'\ne0</math>) si et seulement si <math>a=\frac\omega{18}</math> et <math>a=\frac{\omega^2}{18}</math> avec <math>\omega\in\{1,\mathrm j,\mathrm j^2\}</math>. Le reste du système équivaut alors, de proche en proche, à : <math>b'=\omega b, c=6\omega^2b^2, c'=6b^2, d=12\omega b^3, d'=12\omega^2b^3</math>, d'où <math>A=\frac\omega{18}X^3+bX^2+6\omega^2b^2X+12\omega b^3</math> et <math>B=\frac{\omega^2}{18}X^3+\omega bX^2+6b^2X+12\omega^2b^3</math>.
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