« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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#Si <math>E</math> est de dimension finie <math>n</math>, on ne peut pas avoir <math>\{0\}\subsetneq\ker\left(\varphi\right)\subsetneq\ker\left(\varphi^2\right)\subsetneq\dots\subsetneq\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>, car <math>\dim\left(\ker\left(\varphi^{n+1}\right)\right)\le n</math>. Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang <math>p\le n</math>. On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang <math>q\le n</math>.
}}
== Exercice 2-5 ==
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
:<math>\begin{matrix}
f_1 : (x,y) \in \R^2 \mapsto (2x+y, ax-y)\in \R^2, &\qquad
f_2 : (x,y,z) \in \R^3 \mapsto (xy, ax, y)\in \R^3,\\
f_3 : P \in \R[X]\mapsto aP'+ P\in \R[X], &\qquad
f_4 : P \in \R_3[X]\mapsto P'\in \R_2[X],\\
f_5 : P \in \R_3[X]\mapsto (P(-1),P(0),P(1)) \in \R^3, &\qquad
f_6 : P \in \R[X]\mapsto P-(X-2) P'\in \R[X].\end{matrix}</math>
Pour celles qui le sont, déterminer le noyau et l'image et en déduire si l'application est injective, surjective, bijective.
{{Solution|contenu=
Toutes sont linéaires sauf <math>f_2</math> (car <math>f_2(-1,-1,0)\ne-f_2(1,1,0)</math>).
Si <math>a=-2</math>, <math>\ker f_1=\R(1,-2)</math>, <math>\operatorname{im}f=\R(1,-1)</math> et <math>f_1</math> n'est ni injective, ni surjective.
Si <math>a\ne-2</math>, <math>f_1</math> est bijective.
<math>f_3</math> est bijective.
<math>f_4</math> est surjective mais pas injective : son noyau est la droite des polynômes constants.
<math>f_5</math> est surjective mais pas injective : son noyau est la droite engendrée par <math>X^3-X</math>.
{{en cours}}
}}
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| idfaculté = mathématiques
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