« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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<math>f_6</math> n'est ni injective, ni surjective : son noyau est la droite engendrée par <math>X-2</math> (on le trouve en résolvant une [[Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre#Cas général : équations à coefficients variables|équation différentielle linéaire du premier ordre]] très simple) et son image est l'[[w:Hyperplan|hyperplan]] des polynômes <math>Q</math> tels que <math>Q'(2)=0</math> (en effet, si <math>Q=P-(X-2)P'</math> alors <math>Q'=-(X-2)P''</math> s'annule en 2 et réciproquement, si <math>Q'(2)=0</math> alors, soit <math>C</math> un polynôme tel que <math>Q'=-(X-2)C'</math> et soit <math>P=Q+(X-2)C</math>, on a <math>P'=C</math> donc <math>Q=P-(X-2)P'</math>).
}}
== Exercice 2-6==
Soit
:<math>A=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&2&2\\1&0&1\end{pmatrix}</math>.
On note <math>f</math> et <math>{}^t\!f</math> les endomorphismes de <math>\R^3</math> de matrices respectives <math>A</math> et <math>{}^t\!A</math> dans la base canonique.
#Montrer que <math>\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}({}^t\!A)=2</math> et calculer une base <math>(u_1,u_2)</math> de <math>\operatorname{im}({}^t\!f)</math>.
#Montrer que <math>\ker({}^t\!f)</math> est engendré par le vecteur <math>v=(-2,1,2)</math>.
#Montrer que <math>\R^3=\operatorname{im}(f)\oplus\ker({}^t\!f)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\operatorname{im}({}^t\!f)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,u_3)</math> avec <math>u_1=(1,0,1)</math>, <math>u_2=(0,1,1)</math> et <math>u_3=(1,1,2)=u_1+u_2</math>. Comme <math>u_1</math> et <math>u_2</math> ne sont pas colinéaires, ils forment donc une base de <math>\operatorname{im}({}^t\!f)</math>, si bien que <math>\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}({}^t\!A)=2</math>.
#<math>\ker({}^t\!f)=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+z=x+2y=2x+2y+z=0\}=\{(-2y,y,2y)\mid y\in\R\}</math>.
#<math>\operatorname{im}(f)=\operatorname{Vect}(v_1,v_2)</math> avec <math>v_1=(1,0,1)</math> et <math>v_2=(1,2,0)</math>, et <math>\det(v_1,v_2,v)=\begin{vmatrix}1&1&-2\\0&2&1\\1&0&2\end{vmatrix}=9\ne0</math>.
}}
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| idfaculté = mathématiques
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